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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 95

Mostre que o escoamento potencial com simetria axial formado pela superposição de uma fonte pontual + m em x , y = ( - a , 0 ) , um sumidouro pontual - m em ( + a , 0 ) e uma corrente U ∞ na direção x forma um corpo de revolução de Rankine, como na figura abaixo. Encontre expressões analíticas para determinar o comprimento 2L e o máximo diâmetro 2R do corpo em termos de m ,   U ∞ e a .

Passo 1

As funções de linhas de corrente para essa física são dadas abaixo, e o formato do corpo (revolução de Rankine) é dado por ψ = 0

ψ = - U 2 r 2 s e n 2 θ + m c o s θ 2 - c o s θ 1

Passo 2

Os pontos de estagnação em r = L, θ = 0 ,   π ou U + m L + a 2 - m L - a 2 = 0

Resolvendo isso para deixarmos do jeito que é pedido:

L a 2 - 1 2 = 4 m U a 2 L a

Passo 3

Similarmente para o raio máximo R nesse formato oval que temos aí em cima, ocorrerá qiando ψ = 0 e θ = ± 90 °

0 = - U 2 R 2 + 2 m c o s θ 2

Onde c o s θ 2 = a a 2 + R 2

De forma a ficar melhor escrito, temos que:

R a 2 1 + R a 2 = 4 m U a 2

Resposta

L a 2 - 1 2 = 4 m U a 2 L a

R a 2 1 + R a 2 = 4 m U a 2

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