Enunciado

6.2 Um campo de escoamento incompressível e sem atrito é dado por V → = A x + B y i ^ + B x - A y j ^ , em que A = 2 s - 1 , B = 2 s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Determine o módulo e o sentido da aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y = 2,2 . Determine o gradiente de pressão no mesmo ponto, se g → = - g j ^ e o fluido for a água.

Passo 1

Para a aceleração da partícula temos:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Vamos considerar regime permanente ∂ V → ∂ t = 0 e que não haja componente em z w ∂ V → ∂ z = 0 , então:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais:

∂ V → ∂ x = A i ^ + B j ^

∂ V → ∂ y = B i ^ - A j ^

Sendo u = A x + B y   e v = B x - A y :

a → p = A x + B y A i ^ + B j ^ + B x - A y B i ^ - A j ^

a → p = A A x + B y i ^ + B A x + B y j ^ + B B x - A y i ^ - A B x - A y j ^

a → p = A A x + B y + B B x - A y i ^ + B A x + B y - A B x - A y j ^

a → p = A 2 x + A B y + B 2 x - A B y i ^ + A B x + B 2 y - A B x + A 2 y j ^

a → p = A 2 x + B 2 x i ^ + B 2 y + A 2 y j ^

Com A = 2 s - 1 e B = 2 s - 1 ,

a → p = 2 2 x + 2 2 x i ^ + 2 2 y + 2 2 y j ^

No ponto x , y = 2,2 :

a → p = 2 2 2 + 2 2 2 i ^ + 2 2 2 + 2 2 2 j ^

a → p = 16 i ^ + 16 j ^

Calculando o módulo da aceleração

a → p = 16 2 + 16 2

a → p = 16 2   m / s 2

Passo 2

Para o gradiente de pressão temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Como g x = 0 e ρ é conhecido ( ρ = 999   k g / m 3 )

∂ p ∂ x = - 999 k g m 3 16 m s 2 = - 15984 k g m 3 m s 2  

Sabemos, (ou fingimos que sabemo só pra fazer a mudança de unidade e chegamos em Pascal)

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = - 15984 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = - 15984 P a m

Passo 3

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(2,2), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Como g y = - g = - 9,81   m / s 2 e ρ é conhecido ( ρ = 999   k g / m 3 )

(ATENÇÃÃÃOOOO, senta que lá vem textão: aqui a gravidade não é zero porque ele diz que está em j.... sim, eu sei que ta faltando o j no enunciado, mas isso é graças aos abençoados que fizeram a tradução, pois na versão em inglês aparece. Sendo assim, não vai ter componente nenhuma em z)

∂ p ∂ y = 999 k g m 3 - 9,81 m s 2 - 999 k g m 3 16 m s 2 = - 25784 k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 25784 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 25784 P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = - 15984 i ^ - 25784 j ^ P a m  

Resposta

a → p = 16 i ^ + 16 j ^

a → p = 16 2   m / s 2

∇ p = - 15984 i ^ - 25784 j ^ P a m  

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