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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 9

Repita a análise de quantidade de movimento sobre aplaca plana da Seção 7.2 substituindo o perfil parabólico, Equação (7.6), por um perfil senoidal mais exato:

u/U =sen(piy/2delta)

Calcule estimativas de quantidade de movimento integral para cf, u /x, d*/x e H.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nós queremos calcular C f , θ / x , δ * / x e H a partir das relações integrais utilizando o seguinte perfil de velocidades:

u U = sen ⁡ π y 2 δ

Em primeiro lugar, devemos calcular θ , a partir da Equação (7.3) dada na página 465:

θ =   ∫ 0 δ u U 1 - u U d y   = 4 - π 2 π δ = 0,1366 δ

Depois, devemos calcular δ * a partir da Equação (7.12) dada na página 467:

δ * =   ∫ 0 δ 1 - u U d y   = π - 2 π δ = 0,3634 δ

E agora, pra finalizar esse passo, amos calcular o valor de H a partir da equação (7.31), dada na página 473:

H = δ * θ = 0,3634 δ   0,1366 δ = 2,66

Passo 2

Agora, vamos calcular θ / x , δ * / x e C f .

Em primeiro lugar, devemos buscar a Equação (7.5) para a tensão de cisalhamento na parede, que é demonstrada na página 466:

τ p = ρ U 2 d θ d x

Utilizando a relação θ =   0,1366 δ que descobrimos no Passo 1, obtemos

τ p = ρ U 2 0,1366 d δ d x

Além disso, uma outra forma de expressar a tensão de cisalhamento na parede τ p é dada por:

τ p = μ ∂ u ∂ y y = 0 = μ ∂ ∂ y   U sen ⁡ π y 2 δ y = 0 = μ U π 2 δ cos ⁡ π y 2 δ y = 0 = U μ π 2 δ

Combinando as duas equações, ficamos com:

ρ U 2 0,1366 d δ d x = U μ π 2 δ

δ d δ = μ π 0,2732 ρ U d x

Separando as variáveis e integrando, teremos:

δ 2 = 22,98 μ ρ U x → δ x = 4,79 R e x 1 / 2

Substituindo os resultados que obtivemos no Passo 1 na equação acima, podemos encontrar:

θ / 0,1366 x = 4,79 R e x 1 / 2 → θ x = 0,654 R e x 1 / 2  

δ * / 0,3634 x = 4,79 R e x 1 / 2 → δ * x = 1,74 R e x 1 / 2

E finalizando esse passo, vamos calcular C f a partir da Equação (7.10), fornecida na página 466:

C f = θ x = 0,654 R e x 1 / 2  

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

As estimativas de quantidade de movimento integral para o perfil senoidal são C f = 0,654 R e x 1 / 2   , θ x = 0,654 R e x 1 / 2 , δ * x = 1,74 R e x 1 / 2 e H = 2,66

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