Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 106
Em um sistema de aquecimento distrital geotérmico, de água quente devem ser levados a uma distância de em um tubo horizontal. As perdas menores são desprezíveis, e a única perda de energia significativa é a proveniente do atrito no tubo. O fator de atrito pode ser tomado como 0,015. A especificação de um tubo de diâmetro maior reduziría a velocidade da água, a carga de velocidade, o atrito do tubo e, portanto, o consumo de energia. Mas um tubo maior também tería um custo inicial maior de compra e instalação. Em outras palavras, existe um diâmetro de tubo ideal que minimizará a soma do custo do tubo e do custo da energia elétrica futura.
Considere que o sistema funcionará , todos os dias durante anos. Durante esse tempo o custo da eletricidade permanecerá constante a . Suponha que o desempenho do sistema permaneça constante durante décadas (isso pode não ser verdadeiro, particularmente se água altamente mineralizada passar através da tubulação, e a formação de crosta for possível). A bomba tem uma eficiência geral de O custo da compra, instalação e isolamento de um tubo de depende do diâmetro e é dado por onde está em . Considerando inflação e taxas de juros zero para simplificar, valor de recuperação e custo de manutenção zero, determine o diâmetro ideal do tubo.
Passo 1
Opaaa, mas que enunciado enorme!! Mas calma, vem comigo que a gente vai pegar todas as informações que a gente precisa!
Para começar, vamos olhar para a equação de energia e ver o que a gente pode simplificar!
Estamos considerando um escoamento permanente, desenvolvido e incompressível!
Vamos considerar os pontos e como o início e o final da tubulação, mas como o que temos é um sistema de aquecimento, então a água deve sair de um ponto e voltar para esse mesmo ponto, portanto e como não temos nenhuma turbina
Aplicando na equação de energia temos:
O que a equação de energia disse pra a gente é que o sistema precisa de uma bomba com potência suficiente para superar as perdas de carga, como o enunciado disse que as perdas menores devem ser desconsideradas, então essa perda é referente a perda por atrito!
Para um escoamento desenvolvido com comprimento e diâmetro , a perda de carga é dada por:
Passo 2
Agora vamos dar um passo pra trás e pensar no que a gente quer!
A gente quer achar o diâmetro ideal do tubo para reduzir os custos. Mas porque o diâmetro?
Porque a velocidade do escoamento é uma função do diâmetro do tubo, quando maior a velocidade maior as perdas por atrito e quanto maior o atrito maior vai ser a potência requerida da boba e com isso vai ter um maior gasto de eletricidade!
Então temos que encontrar uma expressão que relacione a potência e o diâmetro do tubo!
Sabendo que a potência requerida, ou seja, a potência mínima que a gente precisa, é dada por:
Esse é a perda de carga, a mesma que a gente encontrou a única diferença é que em a gente ta usando unidade de comprimento e em a unidade é pressão, para isso podemos fazer uma conversãozinha!
Agora podemos escrever a perda de carga em unidade de pressão:
É mais fácil trabalhar com a vãzão do fluido ao invés de velocidade, então podemos usar a seguinte relação:
Substituindo:
Agora dando uma arrumadinha:
O enunciado nos deu a vazão mássica, , podemos descobrir a vazão volumétrica da seguinte forma:
Lembrando que o fluido é a água, então consideramos .
Passo 3
A potência que a gente falou lá em cima foi a potência que a gente precisa, mas precisamos considerar a eficiência da bomba para descobrir a sua potência nominal, para isso usamos essa fórmula:
Como já vimos a potência requerida é dada por:
Substituindo e :
Arrumando:
Agora vamos relembrar os dados que o enunciado deu, que são o fator de atrito () o comprimento () e a eficiência da bomba ():
E a vazão que descobrimos:
Substituindo:
Ou:
Passo 4
Esse sistema funcionará por anos. Para descombrir quanto de energia será usada por horas/ano
Considerando um ano de dias, calculamos quantas horas tem em um ano:
Calculando:
Passo 5
Ok, sabemos o tanto de energia que o sistema vai gastar por ano! Mas queremos saber o quanto isso vai custar por ano!
Para isso vamos o custo da eletrícidade, dado no enunciado,
Passo 6
Até agora só discutimos o custo da eletricidade, mas existe também o custo da instalação, que é dado no enunciado:
O custo total deve ser o custo da eletricidade somado ao custo fixo.
Mas o que é esse custo fixo?!
Quando a gente vai fazer uma soma, precisamos que tudo esteja na mesma unidade, certo?
O custo da eletricidade ta na unidade de enquanto o custo da instalação esta apenas em , logo precisamos dividir o custo da instação pelo tempo útil de vida do sistema (30 anos) e podemos fazer a soma!
Agora podemos escrever:
Passo 7
Achamos uma relação entre custo e diâmetro, mas e agora?!
O que a gente quer é o custo minímo, certo?
Agora puxando da memória, lá de cálculo 1! Como a gente achava um ponto máximo ou mínimo de um gráfico?
É isso aiii, derivando e igualando a derivada a zero!!
Vamos dar uma arrumadinha para calcularmos:
Isolando :
Ou:
Uhuuuul!!! Achamos o diâmetro ideal!