Em uma partícula esférica de raio há geração térmica uniforme a uma taxa . A partícula é encapsulada por uma casca esférica com raio externo , que é resfriada pelo ar ambiente. As condutividades térmicas da partícula e da casca são e , respectivamente, sendo = .

(a) Aplicando o princípio da conservação de energia no volume de controle esférico , que é posicionado em uma posição arbitrária no interior da esfera, determine uma relação entre o gradiente de temperatura, , e o raio local, , para .

(b) Aplicando o princípio da conservação de energia no volume de controle esférico , que é posicionado em uma posição arbitrária no interior da casca esférica, determine uma relação entre o gradiente de temperatura, , e o raio local, , para .

(c) Em coordenadas , esboce a distribuição de temperaturas em .

(a)

Tendo tudo isso em mente vamos a nossa letra (a) quer uma relação

Como nossa condução é unidimensional e há geração de energia, temos:

Sendo nossa energia gerada dada por:

Como nosso sistema não é isolado

Substituindo os resultados encontrados na equação do balanço de energia temos.

Isolando encontramos:

(b) Vamos seguir a mesma lógica do item entretanto nosso na parte

, assim temos:

Sendo nossa energia gerada dada por:

Como nosso sistema não é isolado

Substituindo os resultados encontrados na equação do balanço de energia temos.

Isolando encontramos:

(c) Vamos lá pra resolver isso precisamos integrar os resultados da letra (a) e da letra (b)

Primeiro para

Como a condição de contorno é.

Agora para

Como a condição de contorno é.

Simplificando:

Agora traçando nosso gráfico em função de temos:

Obs: A primeira parte do gráfico se comporta em função de , logo é uma parábola com concavidade pra baixo, já a segunda parte segue como uma função de .

Isso é tudo pessoal! \o/