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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 26

Um pêndulo tem um período de oscilação T que é considerado dependente do seu comprimento L, da massa m, do ângulo de balanço θ e da aceleração da gravidade g. Um pêndulo de 1m de comprimento, com uma massa de 200 g, é testado sobre a Terra, determinando-se um período de 2,04 s para uma oscilação de 20°. (a) Qual é o seu período para uma oscilação de 45°? Um pêndulo semelhante, construído com L = 30 cm e m = 100 g, é posto para oscilar na Lua (g = 1,62 m/s²) com θ = 20 ° . (b) Qual será o seu período?

Passo 1

Vamos lá, primeira coisa é escrevermos como sempre como os parâmetros são funções entre si!!!

T = f L ,   m ,   g ,   θ

Bem, como podemos observar, temos ali o ângulo θ que tem dimensão {1}, ou seja, esse carinha já um grupo adimensional.

Temos 5 variáveis (n) e 3 dimensões bases (MLT), logo temos que encontrar 5 – 3 = 2 grupos pi. Onde 1 já foi encontrado que será o ângulo dado.

Passo 2

Vamos abrir os parâmetros em suas dimensões, mas lembrando que um grupo já encontramos!

T = T

L = L

m = M

g = { L T - 2 }

Π 1 = L a m b g c T = L a M b L T - 2 c T = M 0 L 0 T 0

Passo 3

Bem, agora é montarmos nosso equacionamento algébrico, se liga!!!

M : b = 0

L : a + c = 0

T : - 2 c + 1 = 0 → c = 1 / 2

a = - 1 / 2

Logo,

Π 1 = T g L 1 2

T g L 1 2 = f ( θ )

Passo 4

(a) Se mudarmos o ângulo para 45°, essa mudança será acometida apenas no grupo Π 2 = θ , consequentemente nós perdemos a similaridade dinâmica e não sabemos qual é o novo período. Precisaríamos de mais testes!

Passo 5

(b) Se colocarmos o pêndulo na lua em 20°, teremos por similaridade o seguinte:

T 1 g 1 L 1 1 2 = T 2 g 2 L 2 1 2

2,04 9,81 1 1,2 = T 2 1,62 0,3 1 2 = 6,39 → T 2 = 2,75   s

Resposta

  1. Se mudarmos o ângulo para 45°, essa mudança será acometida apenas no grupo Π 2 = θ , consequentemente nós perdemos a similaridade dinâmica e não sabemos qual é o novo período. Precisaríamos de mais testes!
  2. T 2 = 2,75   s
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