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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 3

A pressão efetiva p, num ponto genérico de um líquido em repouso, é função da massa específica ρ , da aceleração da gravidade g e da profundidade do ponto h em relação à superfície livre do líquido. Determinar a equação das pressões.

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, estamos analisando a pressão efetiva, sabemos que a pressão é função de:

p = f ρ , g , h

Então, a função representativa será

f ρ , g , h , p = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; g = L T - 2 ; h = L ; p = M L - 1 T - 2

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 4   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 4 - 3 → m = 1   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Como temos m = 1 , então o grupo dimensional será uma constante C .

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 g α 2 h α 3 p

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 g α 2 h α 3 p = M L - 3 α 1 L T - 2 α 2 L α 3 M L - 1 T - 2

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- 2 α 2 - 2 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 2 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + - 1 + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 g - 1 h - 1 p → π 1 = p ρ g h = C → p = C ρ g h

Resposta

p = C ρ g h

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