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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 9

Sabe-se que o empuxo F devido à hélice de um avião é função de sua velocidade v em relação ao ar, da velocidade angular ω da hélice, do diâmetro D da hélice, da massa específica ρ , da viscosidade dinâmica μ do ar e da velocidade c do som. Determinar a função de adimensionais equivalente à função representativa do fenômeno físico.

Passo 1

Nesse exercício, estamos interessados em analisar o empuxo F, que é função de:

F = f v , ω , D , ρ , μ , c

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, então, será:

f v , ω , D , ρ , μ , c , F = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

ρ = M L - 3 ; v = L T - 1 ; D = L ; μ = M L - 1 T - 1 ; F = M L T - 2 ;

ω = T - 1 ; c = L T - 1

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 7   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 3   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 7 - 3 → m = 4   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = ρ α 1 v α 2 D α 3 μ  

π 2 = ρ β 1 v β 2 D β 3 F

π 3 = ρ δ 1 v δ 2 D δ 3 ω

π 4 = ρ λ 1 v λ 2 L λ 3 c

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = ρ α 1 v α 2 D α 3 μ = M L - 3 α 1 L T - 1 α 2 L α 3 M L - 1 T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

α 1 + 1 = 0 → α 1 = - 1

- α 2 - 1 = 0 → α 2 = - 1

- 3 α 1 + α 2 + α 3 - 1 = 0 → - 3 - 1 + ( - 1 ) + α 3 - 1 = 0 → α 3 = - 1

Dessa forma, temos então:

π 1 = ρ - 1 v - 1 D - 1 μ → π 1 = μ ρ v D → R e = ρ v D μ R e y n o l d s

Agora, repetindo o processo para π 2 :

π 2 = ρ β 1 v β 2 D β 3 F = M L - 3 β 1 L T - 1 β 2 L β 3 M L T - 2

Então, para que π 2 seja adimensional, temos:

β 1 + 1 = 0 → β 1 = - 1

- β 2 - 2 = 0 → β 2 = - 2

- 3 β 1 + β 2 + β 3 + 1 = 0 → - 3 - 1 + - 2 + β 3 + 1 = 0 → β 3 = - 2

Dessa forma, temos então:

π 2 = ρ - 1 v - 2 D - 2 F → π 2 = F ρ v 2 D 2 → E u = F ρ v 2 D 2 E u l e r

Passo 3

Agora vamos encontrar π 3 :

π 3 = ρ δ 1 v δ 2 D δ 3 ω = M L - 3 δ 1 L T - 1 δ 2 L δ 3 T - 1

Então, para que π 3 seja adimensional, temos:

δ 1 + 0 = 0 → δ 1 = 0

- δ 2 - 1 = 0 → δ 2 = - 1

- 3 δ 1 + δ 2 + δ 3 + 0 = 0 → - 3 0 + - 1 + δ 3 = 0 → δ 3 = 1

Dessa forma, temos então:

π 3 = ρ 0 v - 1 D 1 ω → π 3 = ω D v

Agora vamos encontrar π 4 :

π 4 = ρ λ 1 v λ 2 D λ 3 c = M L - 3 λ 1 L T - 1 λ 2 L λ 3 L T - 1

Então, para que π 4 seja adimensional, temos:

λ 1 + 0 = 0 → λ 1 = 0

- λ 2 - 1 = 0 → λ 2 = - 1

- 3 λ 1 + λ 2 + λ 3 + 1 = 0 → - 3 0 + - 1 + λ 3 + 1 = 0 → λ 3 = 0

Dessa forma, temos então:

π 4 = ρ 0 v - 1 D 0 c → π 4 = c v → M = v c   ( M a c h )

Então, a função de adimensionais será:

f π 1 , π 2 , π 3 , π 4 = 0 → f R e ,   E u , ω D v , M

Resposta

f ρ v D μ ,   F ρ v 2 D 2 , ω D v , v c

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