Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 85
O perfil da seção reta de uma canoa é modelado pela curva , em que a = 3,89 m–1 e as coordenadas são medidas em pés. Suponha que a largura da canoa tenha valor constante w = 0,6 m em todo o seu comprimento L = 5,25 m. Estabeleça uma expressão algébrica geral relacionando a massa total da canoa e seu conteúdo com a distância d entre a superfície da água e a borda da canoa. Calcule a massa total máxima para que a canoa não afunde.
Passo 1
Temos um modelo de seção transversal da canoa como uma parábola, onde devemos assumir a largura constante em todo o comprimento , sendo assim, teremos
Vamos encontrar a expressão que relaciona a massa total de canoa e o conteúdo à distância e determinar a massa total permitida sem inundar a canoa. Para isso, aplicaremos as equações hidrostáticas neste sistema.
(pressão hidrostática, onde é positivo para baixo em superfície livre)
(força hidrostática vertical)
As considerações são: fluido estático e incompressível; a pressão atmosférica atua na superfície livre da água e no interior superfície da canoa.
Em qualquer valor de , o peso da canoa e seu conteúdo são equilibrados pela força vertical líquida da água na canoa.
Passo 2
Integrando a equação da pressão hidrostática, :
, onde
Para determinar o limite superior de integração, lembramos que na superfície
. Portanto, e, portanto, a força vertical é:
Simplificando, vamos ter:
Ou...
O limite para nenhuma inundação é e, portanto:
Isso não fica na margem, portanto, se definirmos , obteremos
Portanto, a resposta é altamente dependente do risco permitido de inundação.