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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 47

O perfil de velocidade em um escoamento da camada limite laminar com gradiente de pressão zero é aproximado pela expressão linear dada no Problema 9.10. Use a equação da integral da quantidade de movimento com este perfil para obter expressões para δ / x e C f .

Passo 1

O enunciado diz que o escoamento é laminar, então vale que:

c f = τ w 1 2 ρ U 2

Ele manda a gente usar a equação integral da quantidade de movimento:

τ w ρ = d U 2 θ d x + δ * U d U d x

Mas ele também fala que:

- gradiente de pressão zero: U = c o n s t a n t e , e implica que:

τ w ρ = d U 2 θ d x

- perfil de velocidade linear: u U = y δ

Precisamos achar expressões para C f e y δ com essas informações aí. Bora!

Passo 2

A gente pode dizer que:

τ w = μ d u d y

Sabendo que:

u = U y δ

τ w = μ U δ

Substituindo isso na equação integral:

μ ρ δ = d U θ d x

Passo 3

Aí a gente precisa lembrar que:

θ = ∫ 0 δ u U 1 - u U d y

θ = ∫ 0 δ y δ 1 - y δ d y = ∫ o δ y δ - y 2 δ 2 d y = δ 2 2 δ - δ 3 3 δ 2 = δ 6

Aí substituindo na nossa equação:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

Passo 4

Isso é uma equação diferencial separável, então vamos separar as variáveis e resolver:

μ ρ δ = U 6 d δ d x

δ d δ = 6 μ d x U ρ

∫ δ d δ = ∫ 6 μ d x U ρ ∴ δ 2 2 = 6 μ x U ρ + C

Ih como a gente acha esse C aí? A gente pode assumir que em x = 0 , δ = 0 .

Resolvendo esse PVI, a gente vê que C = 0

Então:

δ 2 2 = 6 μ x U ρ

Isolando δ e dividindo os dois lados por x :

δ = 12 μ x U ρ ∴ δ x = 12 μ U ρ x ∴ δ x = 3,46 R e x

Achamos a primeira expressão!

Passo 5

Para achar uma expressão para C f vamos usar:

c f = τ w 1 2 ρ U 2

τ w = μ U δ

Substituindo uma na outra:

c f = 2 μ δ ρ U

Usando essa:

δ = 12 μ x U ρ

c f = 2 μ ρ U U ρ 12 μ x = 4 μ 2 U ρ 12 ρ 2 U 2 μ x = 0,577 R e x

Resposta

δ x = 3,46 R e x

c f = 0,577 R e x

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