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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 16

Uma pessoa afirma que a tensão de cisalhamento no centro de um tubo circular durante o escoamento laminar completamente desenvolvido é zero. Você concorda com isso? Explique.

Passo 1

Para saber se a tensão de cisalhamento τ no centro de um tubo circular r = 0 durante o escoamento laminar completamente desenvolvido vale zero ou não, precisamos lembrar de duas fórmulas: a equação do perfil de velocidade u de um escoamento laminar completamente desenvolvido (equação 8-17 do livro) e a equação da tensão de cisalhamento τ .

u r = 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - r 2 R 2

onde r é a coordenada que mede a distância de um ponto do fluido a partir do centro do tubo, R é o raio interno do tubo e V m é d é a velocidade média do fluido em uma seção transversal do tubo.

τ = - μ ⋅ d u d r

μ é a viscosidade do fluido e d u d r é a taxa de variação da velocidade u do fluido com relação ao raio r .

Essas variáveis estão ilustradas na figura abaixo.

No passo seguinte, vamos descobrir como essas duas equações podem ajudar a gente a responder a questão.

Passo 2

Saber se a tensão de cisalhamento τ no centro de um tubo circular r = 0 durante o escoamento laminar completamente desenvolvido vale zero ou não, é a mesma coisa que saber se τ vale zero se r vale zero. Ou seja, podemos responder a questão, deduzindo a fórmula de τ para escoamento laminar completamente desenvolvido e substituindo r = 0 nessa fórmula. Se o resultado for zero, a afirmação da pessoa está correta!

O primeira passo para deduzir essa fórmula de τ é calcular a derivada d u d r .

d u d r = d d r 2 ⋅ V m é d ⋅ 1 - r 2 R 2     ⟹       d u d r = - 4 ⋅ V m é d ⋅ r R 2

Substituindo essa nova fórmula na fórmula de τ , achamos:

τ = - μ ⋅ d u d r       ⟹       τ = - μ ⋅ - 4 ⋅ V m é d ⋅ r R 2

τ = μ ⋅ 4 ⋅ V m é d ⋅ r R 2

Pronto, temos uma fórmula para τ em função de r .

Passo 3

A última etapa para descobrir quanto vale a tensão de cisalhamento τ do centro é substituir r = 0 na fórmula que deduzimos.

τ = μ ⋅ 4 ⋅ V m é d ⋅ r R 2     ⟹     τ = μ ⋅ 4 ⋅ V m é d ⋅ 0 R 2     ⟹     τ = 0

Com esse resultado descobrimos que a tensão de cisalhamento de um escoamento laminar completamente desenvolvido vale zero. Isso quer dizer que a afirmação da pessoa estava certa!

Resposta

Sim. Segundo a equação de tensão de cisalhamento de um escoamento laminar completamente desenvolvido, o valor da tensão de cisalhamento no centro do tubo vale zero.

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