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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 41

Nos Problemas 9.18 e 9.19, o arrasto sobre a superfície superior da placa, para escoamento de corrente livre com U = 3   m / s (massa específica do fluído ρ = 800   k g / m 3 ), foi determinado para a placa com sua borda larga ( 3   m ) e sua borda estreita (   1   m ) paralela ao escoamento. Sabendo que o fluído tem μ = 0,02   N ⋅ s / m 2 , calcule o arrasto usando as equações da camada limite.

Passo 1

O enunciado pede para calcularmos a força total de arrasto usando as equações da camada limite. E quais são elas? Se o escoamento for laminar, elas são essas aqui oh:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

Ele também dá ums informações importantes:

Comprimento da placa: L = 3   m

Largura da placa: b = 1   m

Velocidade de corrente livre: U = 3   m / s

Massa específica do fluído: ρ = 800 k g / m 3

Viscosidade dinâmica: 0,02 N ⋅ s m 2

Passo 2

Primeiro, precisamos ver se o escoamento é laminar, olhando o valor de R e L :

R e c r í t i c o = 5 ⋅ 10 5

R e L = ρ U L μ = 800 ⋅ 3 ⋅ 3 0,02 = 3,6 ⋅ 10 5

Como R e L < R e c r í t i c o , nosso escoamento é laminar e podemos usar as equações do passo 1.

Passo 3

A força total de arrasto pode ser definida como:

F D = ∫ τ w d A

Então precisamos de uma expressão para τ w .

Como a gente encontra isso? Usando as equações da camada limite:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

0,730 ρ U x μ = τ w 1 2 ρ U 2 ∴ τ w = 0,730 μ U ρ x ⋅ 1 2 ρ U 2 = 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2

Uhul! Conseguimos!

Passo 4

Agora, montamos a nossa integral:

F D = ∫ τ w d A

Podemos reescrever:

d A = b d x

E sabendo que 0 < x < L :

F D = ∫ 0 L 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2 b d x = 0,365 b μ ρ U 3 ⋅ ∫ 0 L x - 1 2 d x = 0,365 b μ ρ U 3 ⋅ 2 L

Passo 5

Agora repara que ele fala de duas situações: em uma a borda mais larga, que mede 3   m , está paralela ao fluxo, nesse caso, esse é o nosso valor de L e b = 1   m . Aí, substituindo os outros dados do enunciado:

F D = 0,365 b μ ρ U 3 ⋅ 2 L

F D 1 = 0,365 ⋅ 1 ⋅ 0,02 ⋅ 800 ⋅ 3 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 26,28   N

Na outra situação, a borda mais estreita está paralela ao fluxo, por isso:

L = 1   m ,   b = 3   m

E nossas continhas ficam assim:

F D 2 = 0,365 ⋅ 3 ⋅ 0,02 ⋅ 800 ⋅ 3 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 45,52   N

Resposta

F D 1 = 26,28   N

(caminho longo)

F D 2 = 45,52   N

(caminho curto)

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