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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 107

Um tanque de água (aberto para a atmosfera) contém água a uma profundidade de 5 m. Um furo com diâmetro de 25 mm é perfurado no fundo. Modele o furo como de borda-viva, e estime a vazão (L/s) que sai do tanque. Se você fixar um pequeno trecho de tubo no furo, de quanto mudaria a vazão? se em vez disso, você polir a saída do furo, arredondando as bordas (r = 5 mm), de quanto mudaria a vazão?

Passo 1

Neste problema será calculada a vazão de um escoamento considerando diferentes situações de entrada do duto. Para isso será avaliada a velocidade do escoamento como função do coeficiente de perda de carga.

A Equação da Energia será utilizada na forma:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l T

Sendo a perda de carga total definida como:

h l T = f L D V 2 2   2   + K V 2 2 2

Como hipótese e dados do enunciado tem-se que;

- regime permanente ( ∂ / ∂ t = 0 );

- z 1 = 5   m ;

- z 2 = 0 ;

- escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2   e ρ a r = 1,23   k g / m 3 );

- α ≈ 1,0 ;

- D = 25   m m ;

- V 1 ≈ 0 (reservatório com grandes dimensões);

- p 1 = p 2 = 0 (pressão atmosférica em termos manométrico);

- ρ á g u a = 1000   k g / m 3 ;

- L ≈ 0 , lo perdas por atrito são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída:

h l T = f L D V 2 2   2 ⏞ ≈ 0   + K V 2 2 2

h l T =   K V 2 2 2

Passo 2

Usando a Equação de Energia, em J/kg, entre as seções 1 e 2:

p 1 ρ 1 + α V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ 2 + α V 2 2 2 + g z 2 + h l T

p 1 ρ - p 2 ρ = α V 2 2 2 - α V 1 2 2 + g ( z 2 - z 1 ) + h l T

p 1 - p 2 ρ = α V 2 2 - V 1 2 2 + g z 2 - z 1 + h l T

Sabendo a expressão de h l T , que z 2 = 0 , V 1 ≈ 0 , α ≈ 1 e p 1 = p 2 = 0 :

0 = V 2 2 2 - g z 1 + K V 2 2 2

2 g z 1 = V 2 2 1 + K

Logo a expressão da velocidade é dada por:

V 2 2 = 2 g z 1 1 + K

V 2 = 2 g z 1 1 + K

Passo 3

Obtendo o coeficiente de perda de carga para diferentes configurações da entrada do tubo segundo Tabela 8.2:

- Borda-viva

K = 0,5

- Borda com reentrada

K = 0,78

- Borda arredondada ( r / D = 5 / 25 = 0,2 )

K = 0,04

Passo 4

Logo as velocidades das diferentes situações serão:

- Borda-viva

V 2 = 2 g z 1 1 + K

V 2 = 2 × 9,81 × 5 1 + 0,5

V 2 = 8,09   m / s

- Borda com reentrada

V 2 = 2 × 9,81 × 5 1 + 0,78

V 2 = 7,42   m / s

- Borda arredondada

V 2 = 2 × 9,81 × 5 1 + 0,04

V 2 = 9,71   m / s

Passo 5

A vazão será dada por:

Q = V 2 A 2

Q = V 2 π D 2 2 4

Considerando as situações de avaliação:

- Borda-viva

Q B V = 8,09 × π × 25 × 10 - 3 2 4

Q B V = 3,97 × 10 - 3   m 3 / s

- Borda com reentrada

Q B R = 3,64 × 10 - 3   m 3 / s

- Borda arredondada

Q B A = 9,71 × π × 25 × 10 - 3 2 4

Q B A = 4,77 × 10 - 3   m 3 / s

Passo 6

- Diferença de vazão entre borda viva e com reentrada:

∆ Q = Q B R - Q B V

∆ Q = 3,64 × 10 - 3 - 3,97 × 10 - 3

∆ Q = -   0,33 × 10 - 3   m 3 / s

Ao substituir a borda vida por borda com reentrada há queda da vazão de 0,33 L/s.

- Diferença de vazão entre borda viva e arredondada:

∆ Q = Q B A - Q B V

∆ Q = 4,77 × 10 - 3 - 3,97 × 10 - 3

∆ Q = 0,8 × 10 - 3   m 3 / s

Ao substituir a borda vida por borda arredondada há aumento da vazão de 0,8 L/s.

Resposta

Q B V = 3,97 × 10 - 3   m 3 / s

- Diferença de vazão entre borda viva e com reentrada:

∆ Q = -   0,33 × 10 - 3   m 3 / s

- Diferença de vazão entre borda viva e arredondada:

∆ Q = 0,8 × 10 - 3   m 3 / s

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