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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 42

Considere um escoamento na camada limite laminar para estimar o arrasto sobre a placa plana mostrada quando colocada em um escoamento de ar a 5   m / s . O ar está a 20 ° C e 101,3 k P a .

Passo 1

O enunciado diz que o escoamento é laminar, e pede para calcularmos a força de arrasto. Como ele é laminar em uma placa plana, valem as relações:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

Ele também dá ums informações importantes:

Triângulo de lado a = 50   c m

Velocidade de corrente livre: U = 5   m / s

Temos o ar a 20 ° C ,   101,3 k P a , o que implica em ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

Passo 2

A força total de arrasto pode ser definida como:

F D = ∫ τ w d A

Então precisamos de uma expressão para τ w .

Como a gente encontra isso? Usando as equações da camada limite:

c f = 0,730 R e x ,     c f = τ w 1 2 ρ U 2

0,730 ρ U x μ = τ w 1 2 ρ U 2 ∴ τ w = 0,730 μ U ρ x ⋅ 1 2 ρ U 2 = 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2

Uhul! Conseguimos!

Passo 3

Agora, começamos a montar a nossa integral:

F D = ∫ τ w d A

Repara que a nossa largura muda conforme andamos na direção do fluxo, isso é, conforme variamos x . Por isso, podemos escrever:

d A = w ( x ) d x

Como achamos essa largura w ( x ) em função de x ? Temos que:

w 0 = 0 ,   w L = a

Onde L = a 3 2 é o comprimento percorrido pelo fluído na placa.

A função linear que satisfaz essas duas equações é:

w x = a x L

Reescrevendo:

d A = w x d x ∴ d A = a x L d x

Sabendo que 0 < x < L :

F D = ∫ 0 L 0,365 μ ρ U 3 ⋅ x - 1 2 a x L d x = 0,365 a L μ ρ U 3 ⋅ ∫ 0 L x 1 2 d x = 0,365 a L μ ρ U 3 ⋅ 2 L 3 2 3

Passo 4

Substituindo os dados do problema: F D = 0,365 a L μ ρ U 3 ⋅ 2 L 3 2 3 = 0,243 a μ ρ U 3 L

L = a 3 2 = 0,4330

F D = 0,243 ⋅ 0,5 ⋅ 1,81 ⋅ 10 - 5 ⋅ 1,21 ⋅ 5 3 ⋅ 0,433 = 4,18 ⋅ 10 - 3 N

Isso se a gente pensar na força em um lado só da placa. Pensando na força aplicada em ambos os lados, é só multiplicar por 2 :

2 F D = 8,36 ⋅ 10 - 3 N

Resposta

2 F D = 8,36 ⋅ 10 - 3 N

(força total em ambos os lados)

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