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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 138

Um processo exotérmico ocorre de modo uniforme ao longo de uma esfera ( k = 300 W m K ,   c p = 400 J k g . K ,   ρ = 7500   k g / m 3 ) de 10 cm de diâmetro, gerando calor a uma taxa constante de 1,2 M W m 3 . A esfera está inicialmente a uma temperatura uniforme de 20°C, e o processo exotérmico inicia-se no momento t = 0 . Para manter a temperatura da esfera sob controle, ela é imersa em banho líquido mantido a 20°C. o coeficiente de transferência de calor na superfície da esfera é 250 W m 2 K .

Devido à alta condutividade térmica da esfera, a resistência condutiva dentro dela pode ser negligenciada em comparação com a resistência convectiva da superfície. Então, essa situação de transferência de calor transiente pode ser analisada como sistema concentrado.

  1. Mostre que a variação da temperatura T da esfera com o tempo t pode ser expressa por d T d t = 0,5 - 0,005 T ;
  2. Estime a temperatura da esfera em regime permanente;
  3. Calcule o tempo necessário para a esfera atingir a temperatura média das temperaturas inicial e final (permanente).

Passo 1

Respirem fundo galerinha !!

Esta vai ser uma daquelas bem caprichadas!!

A esfera gera um determinado calor por volume da esfera, certo? E este calor é transferido para o ambiente.

Mas antes de qualquer coisa nós precisamos do número de Biot:

B i = h L c k

Sabemos que:

h = 250 W m 2 K

k = 300 W m K

O comprimento característico da esfera é dado por:

L c = V A s

Lembrando que:

V = π D 3 6

E:

A = π D 2

Então:

L c = π D 3 6 π D 2 = D 6

Como:

D = 10   c m = 0,1   m

O comprimento característico será de:

L c = 0,1   m 6 = 0,0167   m

Agora é só achar o Biot:

B i = 250 W m 2 K 0,0167   m 300 W m K = 0,014

Como o B i < 1 nós podemos aplicar a análise para o balanço energético:

E g e r a d a ˙ V = h A s T - T ∞ + m c p d T d t

Passo 2

Com a equação nós poderemos calcular a variação d T d t .

Basta nós vermos o que temos aqui:

E g e r a d a ˙ = 1,2 × 10 6 W m 3

V = π ( 0,1   m ) 3 6 = 5,235 × 10 - 4 m ³

A = π 0,1   m 2 = 0,0314   m ²

h = 250 W m 2 K

c p = 400 J k g . K

T ∞ = 20 ° C

Então nós ó precisamos da massa, se lembram como podemos calcular?

Simples!! Basta usarmos a densidade:

ρ = m V

Se:

ρ = 7500 k g m 3

Então:

7500 k g m 3 = m 5,235 × 10 - 4 m ³

m = 3,93   k g

Agora jogamos tudo na fórmula do Passo 1:

1,2 × 10 6 W m 3 5,235 × 10 - 4 m ³ = 250 W m 2 K 0,0314   m ² T - 20 + 3,93   k g 400 J k g . K d T d t

25000 = 250 T + 50000 d T d t

Reorganizando:

d T d t = 0,5 - 0,005 T

E terminamos a letra (a)!!

Passo 3

Então galera, nós queremos estimar a temperatura quando o regime for permanente.

O que é isso?

Isso significa que esse processo vai ocorrer infinitamente, ou seja:

t = ∞

Beleza!!

Com isso nós teremos que achar a função da temperatura em relação ao tempo!

E como?

Fácil!!

Vamos integrar a equação anterior!!

Mas antes vamos reorganizá-la:

d T 0,5 - 0,005 T = d t

Integrando do T ∞ até T e de t 0 até t :

∫ T ∞ T d T 0,5 - 0,005 T = ∫ t 0 t d t

Resolvendo por substituição:

- 1 0,005 . ln ⁡ 0,5 - 0,005 T | T T ∞ = t | t t 0

Como:

T ∞ = 20 ° C

t 0 = 0  

Então:

ln ⁡ 0,5 - 0,005 T 0,5 - 0,005 × 20 = - 0,005 . t

ln ⁡ 0,5 - 0,005 T 0,4 = - 0,005 . t

Aplicamos o exponencial para eliminar o ln:

0,5 - 0,005 T 0,4 = e - 0,005 . t

Isolando T:

T = 100 - 80 e - 0,005 . t

Se:

t = ∞

Então:

T = 100 - 80 e - ∞

T = 100 - 80 . 1 e ∞

Como o número 1 está sendo dividido por um número muitíssimo grande:

1 e ∞ = 0

Se é assim:

T = 100 ° C

A letra (b) foi legal, certo?

Passo 4

Na letra (c) nós queremos o tempo necessário para a esfera atingir a temperatura média das temperaturas inicial e final (permanente), certo?

Antes de qualquer coisa vamos ver qual é a temperatura média:

T m e d i a = T + T ∞ 2

Substituindo:

T m e d i a = 100 ° C + 20 ° C 2 = 60 ° C

Agora, basta nós jogarmos esta temperatura na equação que a relaciona com o tempo:

T = 100 - 80 e - 0,005 . t

Substituindo:

60 = 100 - 80 e - 0,005 . t

4 0 ° C = 80 e - 0,005 . t

e - 0,005 . t = 0,5

Aplicamos o ln:

- 0,005 . t = - 0,693

t = 138,6   s

Sendo assim, o tempo necessário para atingir esta temperatura média é de 138,6   s .

Essa foi fooda !!

Resposta

  1. d T d t = 0,5 - 0,005 T ;
  2. T = 100 ° C ;
  3. 138,6   s .
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