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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 45

Em um processo de têmpera, uma lâmina de vidro que se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme T i é resfriada pela redução súbita da temperatura em ambas as superfícies para T s . A lâmina tem uma espessura de 10 m m e o vidro tem uma difusividade térmica de 6 × 10 - 7 m 2 / s .

  1. Quanto tempo levará até que a temperatura no plano central da lâmina atinja 75 % da sua máxima redução de temperatura possível?
  2. Se T i - T s = 300 ° C , qual é o máximo gradiente de temperatura no vidro no instante de tempo calculado na parte(a)?

Passo 1

Faaaaalaaa coleguinha... bora de mais uma questãozinha de transporte de energia!!

Esse exercício é bem tranquilo, a grande charada dele está em perceber que, ao nos dizer processo de têmpera, significa que podemos supor que o coeficiente de transferência por convecção, ou seja nosso querido h , assume valores muito maiores do que a nossa condutividade térmica ( k ) . Com isso podemos basicamente dizer que h → ∞ , e então jogando na nossa formulinha de B i :

B i = h   d c k → ∞

Show de bola né?! Essa é a única peculiaridade desse exercício. Com essa informação, podemos ir na tabela 5.1 na teoria do livro, e encontrar que:

ξ = 1,5708 r a d

E

C 1 = 1,2733

Passo 2

Então, de posse desses dois jovens, podemos encontrar nosso F o :

T 0 - T s T i - T s = C 1 e - ξ 1 2 F o

Passando o famoso ln em ambos os lados, encontramos:

ln ⁡ 0,75 1,2733 =   - 1,5708 2 F o

-

Chegamos em:

F o = 0,2145 > 0,2

Notinha de rodapé: Lembre-se que T 0 - T s T i - T s representa a divisão de uma diferença de temperatura pela máxima diferença de temperatura possível. Então esse valor representa uma porcentagem da máxima variação de temperatura. E é exatamente isso que o enunciado chama de 75 % . Pegou a idéia?? Seguimooss!!

Lembrando da fórmula de Fourier:

F o = α t L 2

Como, α = 6 × 10 - 7 m 2 / s , teremos:

t = 0,2145 0,0 05 2 6 × 10 - 7 m 2 = 35,75 s e g

Bem tranquilo né?! Mas calma que ainda temos a alternativa (b). Vamos lá!!

Passo 3

Nesse item, o que o enunciado nos pede é o máximo gradiente de temperatura. Se você se lembrar, podemos achar esse cara da seguinte forma:

∂ T ∂ x m á x i m o = T i - T s L ∂ θ * ∂ x *

Ou seja, precisamos achar a derivada parcial de:

θ * = C 1 e - ξ 1 2 F o cos ⁡ ξ 1 x *

Lembra?! Deriva o que tá dentro do cosseno e a derivada do cosseno é - sin ⁡ x , ta lembrado??

∂ θ * ∂ x * = - ξ 1 C 1 e - ξ 1 2 F o sin ⁡ ξ 1 x *

Temos todos esses carinhas, podemos encontrar:

∂ T ∂ x m á x i m o = 300 0,01 [ - 1,5708 × 1,2733 × e - 1,5708 2 0,2145 × sin ⁡ 1,5708   1

Lembrando que: podemos adotar x * = 1 uma vez que temos F o > 0,2 .

Finalmente:

∂ T ∂ x m á x i m o = 968,86 ° C / m

Bem tranquilo!! Até a próxima!!

Resposta

Portanto:

  1. t = 35,75 s e g
  2. ∂ T ∂ x = 968,86 ° C / m
Ver Outros Exercícios desse livro

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