Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 76
O seu professor favorito pratica alpinismo, portanto, há sempre a possibilidade de que ele caia em uma fenda de alguma geleira. Se isto acontecesse hoje, e o professor ficasse preso em uma geleira de movimento lento, talvez você ficasse curioso em saber se ele reapareceria a jusante, no ponto de deságue da geleira, ainda durante o ano letivo. Considerando que o gelo seja um fluido newtoniano com a massa específica da glicerina, porém um milhão de vezes mais viscoso, você decide construir um modelo e utilizar análise dimensional e semelhança para estimar após quanto tempo o azarado professor reapareceria. Considere que a geleira real tenha 15 m de profundidade e encontre-se em uma encosta que cai 1,5 m em uma distância horizontal de 1850 m. Desenvolva os parâmetros adimensionais e as condições esperadas para governar a semelhança dinâmica neste problema. Se o modelo do professor reaparecer nolaboratório após 9,6 horas, quando é que você deveria retornar ao sopé da geleira real para oferecer auxílio a seu professor favorito?
Passo 1
Neste problema serão desenvolvidos parâmetros adimensionais para retratar o movimento de uma geleira e obtido o tempo no protótipo (geleira) para reaparecimento do professor. Para isso será necessário o uso do Teorema de Buckingham.
Como parâmetros conhecidos têm:
- gelo com massa específica da glicerina;
- gelo com viscosidade 1 (um) milhão de vezes a da glicerina: ;
- profundidade da geleira: ;
- encosta com a seguinte inclinação: altura e comprimento ;
- tempo no modelo: ;
Passo 2
Definindo os parâmetros dimensionais importantes para o problema: velocidade da geleira (), massa específica (), viscosidade (), aceleração da gravidade (), profundidade da geleira (), altura da encosta () e comprimento daencosta ().
Logo o número de parâmetros dimensionais é:
Passo 3
Escolhendo as dimensões primárias:
-
-
-
-
-
-
-
Logo, as dimensões primárias são , e , ou seja:
Passo 4
Os parâmetros repentes serão .
Neste prolema como parâmetros repetentes serão escolhidos , e , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.
Passo 5
Número de parâmetros adimensionais ():
Passo 6
Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:
-
Montando o sistema linear:
Resolvendo o sistema:
Logo:
De forma que vale:
-
Montando o sistema linear:
Resolvendo o sistema:
Logo:
De forma que vale:
-
Montando o sistema linear:
Resolvendo o sistema:
Logo:
De forma que vale:
-
Montando o sistema linear:
Resolvendo o sistema:
Logo:
De forma que vale:
Passo 7
Para alcançar a semelhança dinâmica é necessário garantir a semelhança geométrica e cinética. Havendo semelhança dinâmica pode ser realizada a semelhança dos adimensionais obtidos no Passo 6.
Utilizando o é possível realizar sua semelhança dinâmica para definir o deslocamento do modelo:
Logo:
A partir das Tabelas A.1 e A.2 são conhecidas as massas específicas do gelo () e glicerina ():
E sabendo que , a relação entre profundidade terá o valor de:
Passo 8
O adimensional fornece a relação entre velocidade e profundidade do gelo, então aplicando a semelhança dinâmica do adimensional :
Então a relação entre as velocidades será definida em função da relação de profundidades, já obtida no Passo 8, da seguinte forma:
Logo:
Passo 9
Para obter o tempo do protótipo será necessário o uso de uma equação que tenha tal parâmetro. Sabe-se que a velocidade de escorregamento do gelo tem o parâmetro tempo, então fazendo a semelhança do tempo a partir da definição de velocidade:
Logo:
O parâmetro pode ser escrito para surgir os parâmetros definidos e calculados nos Passos 7 e 8:
O termo pode ser escrito como:
De forma que o parâmetro pode ser reescrito como:
Utilizando os parâmetros conhecidos e calculados:
Note que representa a escala linear do problema, logo pode-se afirmar que:
Então, o professor reapareceria a jusante da geleira depois de:
Ou ainda: