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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 90a

Um proprietário de um imóvel, cuja água no interior dos tubos congelou-se durante um período de clima frio, decide descongelá-la passando uma corrente elétrica I através da parede dos tubos. Os raios interno e externo da parede dos tubos são representados por r 1 ,   e   r 2 , e a sua resistência elétrica por unidade de comprimento é designada por R e ' . ( Ω / m ) . Os tubos são isolados pelo lado externo, e durante o derretimento o gelo (e água) no interior dos tubos permanece a uma temperatura constante T f associada ao processo de fusão.

(a) Supondo que condições de regime estacionário são atingidas logo após a aplicação da corrente elétrica, determine a forma da distribuição de temperaturas T r em regime estacionário na parede do tubo durante o processo de fusão.

(b) Desenvolva uma expressão para o tempo necessário para fundir completamente o gelo. Calcule esse tempo para I = 100   A , R e ' = 0,30   Ω / m   e   r 1 = 50   m m

Passo 1

E ai meus queridos? Tudo certinho?

“Operador! Me dê o número do responde ai!.... Preciso resolver essa questão”

Vamos escrever a equação unidimensional de condução de calor em estado estacionário, como mostrarei abaixo

1 r d d r r d T d r + q ˙ k = 0  

Integraremos a equação

r d T d r = - q ˙ r 2 2 k + c 1

d T d r = - q ˙ r 2 k + c 1 r

Integrando a equação novamente, iremos obter

T = q ˙ r 2 2 k + c 1 ln ⁡ r + c 2

c 1 e   c 2 são constantes de integração

Passo 2

Vamos encontrar as constantes usando as condições de contorno da seguinte maneira

Primeira condição de contorno

No raio externo, o tubo r = r 2

d T d r = - q ˙ r 2 k + c 1 r

0 = - q ˙ r 2 2 k + c 1 r

c 1 = q ˙ r 2 2 k

Na segunda condição de contorno

No raio interno do tubo r = r 1

O tubo está na temperatura T r 1 = T m

Aplicando a condição de limite temos

T = q ˙ r 2 2 k + c 1 ln ⁡ r + c 2

T m = T = q ˙ r 1 2 4 k + q ˙ r 2 2 2 k ln ⁡ r 1 + c 2

c 2 = T m + q ˙ r 1 2 4 k + q ˙ r 2 2 2 k ln ⁡ r 1  

Passo 3

Agora iremos substituir os valores das constantes na equação de distribuição de temperatura

T = q ˙ r 2 2 k + c 1 ln ⁡ r + c 2

= - q ˙ r 2 4 k + q ˙ r 2 2 2 k ln ⁡ r + T m + q ˙ r 1 2 4 k + q ˙ r 2 2 2 k ln ⁡ r 1  

= q ˙ r 2 2 2 k ln ⁡ r r 1 + q ˙ 4 k r 1 2 - r 2 2 + T m

"Se algo é difícil de fazer, vale a pena ser feito!"

Resposta

Portanto, a distribuição de temperatura em estado estacionário é de

q ˙ r 2 2 2 k ln ⁡ r r 1 + q ˙ 4 k r 1 2 - r 2 2 + T m

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