61 – Nitrogênio líquido (T=77 K) é estocado em um recipiente esférico de parede fina, que é coberto com uma camada de isolamento uniformemente espessa de condutividade térmica k=0,15 W/m.K. A temperatura da superfície externa do isolamento é Ts,2=20ºC. Devido as constrições de espaço, o raio externo do isolamento é fixado em r2=0,5 m. Determine o raio do recipiente esférico de parede fina que promoverá a mínima taxa de transferência de calor por unidade de volume de nitrogênio. Calcule também a mínima taxa de transferência de calor por unidade de volume de nitrogênio.

Passo 1

Precisaremos calcular o raio interno do recipiente esférico para uma condição de mínima taxa de transferência de calor.

Primeiramente você pode estabelecer as condições para este problema, de modo a podermos usar algumas relações já estabelecidas

As considerações que podem ser feitas são:

-Condução em estado estacionário;

-Condução unidimensional na direção radial (direção de r);

-Propriedades constantes (k cte);

-Efeitos da radiação desprezível.

Passo 2

Pegando a equação da taxa de transferência de calor em termos da resistência total:

q = T 2 - T 1 R T             E q 1

Onde,

-q é a taxa de transferência de calor;

-T2 e T1 são, respectivamente, a temperatura na superfície externa do isolamento e a temperatura do nitrogênio, temperatura em r1;

-RT é a resistência total a transferência de calor;

Como pelas considerações foi considerada condução unidimensional, em estado estacionário e sem radiação e convecção, então a resistência total é:

R T = R C o n d + R C o n v = 1 4 π k 1 r 1 - 1 r 2 + 1 4 π r 1 2 h           E q 2

Onde,

-r1 e r2 são, respectivamente, o raio do recipiente esférico e o raio externo do isolamento;

-k é o coeficiente de condutividade térmica, coeficiente de transferência de calor por condução;

-h é o coeficiente de transferência de calor por convecção.

Passo 3

Analisando a Eq1, você vai ver que a taxa de transferência de calor é inversamente proporcional a resistência térmica, assim quando a taxa de transferência de é mínima a resistência é máxima, assim vamos achar o valor de r1 para o qual a resistência é máxima.

Lembrando de máximos e mínimos, nós conseguimos determinar um ponto de máximo derivando a função em relação a variável e igualando a função derivada a zero, sendo assim

d R T d r 1 = d d r 1 1 4 π k 1 r 1 - 1 r 2 + 1 4 π r 1 2 h = 0

Derivando,

d R T d r 1 = 1 k d d r 1 1 r 1 - 1 r 2 + 1 h d d r 1 1 r 1 2

d d r 1 1 r 1 - 1 r 2 = - 1 r 1 2

d d r 1 1 r 1 2 = 2 r 1 3

Assim,

d R T d r 1 = - 1 k r 1 2 + 2 h r 1 3 = 0

1 k r 1 2 = 2 h r 1 3

r 1 3 k r 1 2 = 2 h

r 1 = 2 k h

A taxa de transferência de calor é mínima quando essa relação acima é satisfeita.

Passo 4

A taxa de transferência de calor por unidade de volume de nitrogênio vai ser:

q V = T 2 - T 1 R T V

Onde, V é o volume de nitrogênio no recipiente esférico, considerando que o nitrogênio ocupa todo volume disponível, então

V = V e s f = 4 3 π r 1 3

Substituindo,

q V = T 2 - T 1 R T 4 3 π r 1 3           E q 3

Passo 5

A resistência total no ponto onde a taxa de transferência de calor é mínima é:

R T = 1 4 π k 1 r 1 - 1 r 2 + 1 4 π r 1 2 h

R T = 1 4 π k 1 2 k h - 1 r 2 + 1 16 π k 2 h

E o volume vai ser:

V = 4 3 π r 1 3 = 4 3 π 2 k h 3 = 32 3 π k h 3

Passo 6

Substituindo na Eq3

q V = T 2 - T 1 R T 4 3 π r 1 3

q V = T 2 - T 1 1 4 π k 1 2 k h - 1 r 2 + 1 16 π k 2 h 32 3 π k h 3

Essa é relação matemática da taxa de transferência de calor mínima.

Resposta

r 1 = 2 k h

q V = T 2 - T 1 1 4 π k 1 2 k h - 1 r 2 + 1 16 π k 2 h 32 3 π k h 3

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