Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 61
61 – Nitrogênio líquido (T=77 K) é estocado em um recipiente esférico de parede fina, que é coberto com uma camada de isolamento uniformemente espessa de condutividade térmica k=0,15 W/m.K. A temperatura da superfície externa do isolamento é Ts,2=20ºC. Devido as constrições de espaço, o raio externo do isolamento é fixado em r2=0,5 m. Determine o raio do recipiente esférico de parede fina que promoverá a mínima taxa de transferência de calor por unidade de volume de nitrogênio. Calcule também a mínima taxa de transferência de calor por unidade de volume de nitrogênio.
Passo 1
Precisaremos calcular o raio interno do recipiente esférico para uma condição de mínima taxa de transferência de calor.
Primeiramente você pode estabelecer as condições para este problema, de modo a podermos usar algumas relações já estabelecidas
As considerações que podem ser feitas são:
-Condução em estado estacionário;
-Condução unidimensional na direção radial (direção de r);
-Propriedades constantes (k cte);
-Efeitos da radiação desprezível.
Passo 2
Pegando a equação da taxa de transferência de calor em termos da resistência total:
Onde,
-q é a taxa de transferência de calor;
-T2 e T1 são, respectivamente, a temperatura na superfície externa do isolamento e a temperatura do nitrogênio, temperatura em r1;
-RT é a resistência total a transferência de calor;
Como pelas considerações foi considerada condução unidimensional, em estado estacionário e sem radiação e convecção, então a resistência total é:
Onde,
-r1 e r2 são, respectivamente, o raio do recipiente esférico e o raio externo do isolamento;
-k é o coeficiente de condutividade térmica, coeficiente de transferência de calor por condução;
-h é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
Passo 3
Analisando a Eq1, você vai ver que a taxa de transferência de calor é inversamente proporcional a resistência térmica, assim quando a taxa de transferência de é mínima a resistência é máxima, assim vamos achar o valor de r1 para o qual a resistência é máxima.
Lembrando de máximos e mínimos, nós conseguimos determinar um ponto de máximo derivando a função em relação a variável e igualando a função derivada a zero, sendo assim
Derivando,
Assim,
A taxa de transferência de calor é mínima quando essa relação acima é satisfeita.
Passo 4
A taxa de transferência de calor por unidade de volume de nitrogênio vai ser:
Onde, V é o volume de nitrogênio no recipiente esférico, considerando que o nitrogênio ocupa todo volume disponível, então
Substituindo,
Passo 5
A resistência total no ponto onde a taxa de transferência de calor é mínima é:
E o volume vai ser:
Passo 6
Substituindo na Eq3
Essa é relação matemática da taxa de transferência de calor mínima.