Reconsidere o problema do filme de óleo totalmente desenvolvido escoando na vertical (ver Figura P4.80) como um exercício de análise dimensional. Seja a velocidade vertical uma função apenas da distância da placa, das propriedades do fluido, da gravidade e da espessura do filme. Isto é, w 5 f(x, r, m, g, d). (a) Use o teorema pi para reescrever essa função em termos de parâmetros adimensionais. (b) Verifique se a solução exata do Problema P4.80 é consistente com os seus resultados na parte (a).

Em primeiro lugar, iremos resolver a letra (a).

Vamos olhar de novo a função que define a velocidade vertical do óleo:

Note que nessa função temos variáveis e dimensões primárias (). Por análise dimensional, sabemos que isso quer dizer que teremos 3 grupos Pi.

Nós vamos selecionar como variáveis que se repetem, pois apenas tem uma dimensão de massa, apenas tem uma dimensão de tempo. Sendo assim:

Logo, a função adimensional será:

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (b).

Vamos lembrar a solução exata do Problema 4.80:

Podemos multiplicar os dois lados da equação por :

Podemos reescrever como , e podemos reagrupar o termo no lado esquerdo:

Além disso, podemos expressar no lado direito como e passar um para dentro dos parênteses:

Se nós lembrarmos dos valores de Pi que deduzimos no passo anterior, podemos reorganizar a equação acima como:

Dessa forma, a gente confirma que as duas soluções estão relacionadas.

Pronto, matamos a questão juntos!