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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 32

Supõe­-se que a potência, P , requerida para acionar um ventilador depende da massa específica do fluido, ρ , da vazão em volume, Q , do diâmetro das pás, D , e da velocidade angular, ω . Use a análise dimensional para determinar a dependência de P em relação às outras variáveis.

Passo 1

Bom, o exercício nos pede a dependência de P em relação às outras variáveis...Para isso temos primeiro que fazer a análise dimensional, começando usando o Teorema Pi de Buckingham!

Separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

P ρ Q D ω

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

P ρ Q D ω

M L 2 t 3 M L 3 L 3 t L 1 t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Vamos montar as equações:

Π 1 = P * ρ a * D b * ω c

M L 2 t 3 * M L 3 a * L b * 1 t c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M : 1 +   a = 0

L : 2 - 3 a + b = 0

t : - 3 - c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 5 c = - 3

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = P * ρ a * D b * ω c

Π 1 = P * ρ - 1 * D - 5 * ω - 3

Π 1 = P ρ D 5 ω 3

Isso aí! Vamos adiante!

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = Q * ρ a * D b * ω c

L 3 t * M L 3 a * L b * 1 t c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a = 0

L : 3 - 3 a + b = 0

t : - 1 - c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 0 b = - 3 c = - 1

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 2 = Q * ρ a * D b * ω c

Π 2 = Q * ρ 0 * D - 3 * ω - 1

Π 2 = Q D 3 ω

Isso aí!

Passo 6

A relação de P com as outras variáveis será:

Π 1 = f Π 2

P ρ D 5 ω 3 = f Q D 3 ω

P = ρ D 5 ω 3 f Q D 3 ω

Beleza! Vencemos!

Resposta

P = ρ D 5 ω 3 f Q D 3 ω

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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