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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 30

Encontre um conjunto adequado de parâmetros adimensionais para organizar dados oriundos de uma experiência de laboratório, na qual um tanque é drenado através de um orifício a partir de um nível inicial de líquido, h 0 . O tempo, τ , para esvaziar o tanque depende do seu diâmetro, D , do diâmetro do orifício, d , da aceleração da gravidade, g , da massa específica do líquido, ρ , e da viscosidade do líquido, μ . Quantos parâmetros adimensionais resultarão? Quantas variáveis repetentes devem ser selecionadas para determinar os parâmetros adimensionais? Explicite o parâmetro Π que contém a viscosidade.

Passo 1

Bom, vamos por partes nesse aqui!

Precisamos primeiro fazer a análise dimensional, para isso a gente começa usando o Teorema Pi de Buckingham e já vamos resolvendo algumas das questões do exercício...

Separando nossos parâmetros, temos n = 7 :

τ h 0 D d g ρ μ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa ( M ), comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

τ h 0 D d g ρ μ

T L L L L t 2 M L 3 M L t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 4

Vamos montar as equações:

Π 1 = μ * ρ a * d b * g c

M L t * M L 3 a * L b * L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   1 + a = 0

L : - 1 - 3 a + b + c = 0

t : - 1 - 2 c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 b = - 3 2 c = 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar assim:

Π 1 = μ * ρ a * d b * g c

Π 1 = μ * ρ - 1 * d - 3 2 * g 1 2

Π 1 = μ ρ g d 3

Show! Vamos em frente!

Passo 5

Para achar todos os parâmetros precisaríamos fazer isso mais três vezes, mas o nosso enunciado só pediu para representar o parâmetro que contém a viscosidade, então show!

Acabou aqui!

Resposta

Quantidade de parâmetros: 4

Quantidade de variáveis: 3

Parâmetro que contém a viscosidade: Π = μ ρ g d 3

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