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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 44

Rejeitos radiativos são estocados em recipientes cilíndricos longos e com paredes finas. Os rejeitos geram energia térmica de forma não uniforme, de acordo com a relação q ˙ = q ˙ 0 1 - r r 0 2 , em que q ˙ é a taxa local de geração de energia por unidade de volume, q ˙ 0 é uma constante e r 0 é o raio do recipiente. Condições de regime estacionário são mantidas pela submersão do recipiente em um líquido que está a T ∞   e fornece um coeficiente de transferência de calor por convecção uniforme e igual a h .

Obtenha uma expressão para a taxa total na qual a energia é gerada por unidade de comprimento do recipiente. Use esse resultado para obter uma expressão para a temperatura T s da parede do recipiente.

Passo 1

Temos que a relação para taxa de geração de energia é dada por:

E ˙ g = ∫ q ˙ d V

Sendo:

q ˙ = q ˙ 0 1 - r r 0 2   e   d V = 2 π r L   d r

Temos:

E ˙ g = ∫ q ˙ 0 1 - r r 0 2 2 π r L   d r

E ˙ g = 2 π q ˙ 0 L ∫ 0 r 0 r - r 3 r 0 2   d r

Integrando:

E ˙ g = 2 π q ˙ 0 L r 2 2 - r 4 4 r 0 2 r 0 0

E ˙ g = 2 π q ˙ 0 L r 0 2 2 - r 0 2 4

E ˙ g L = E ˙ ' g = π q ˙ 0 r 0 2 2

A expressão para a taxa total na qual a energia é gerada por unidade de comprimento do recipiente se dá por:

E ˙ ' g = π q ˙ 0 r 0 2 2

Passo 2

Temos que a relação para taxa de transferência de calor por convecção por unidade de comprimento é dada por:

E ˙ s a i d a = h 2 π L r 0 ( T S - T ∞ )

E ˙ s a i d a L = E ˙ ' s a i d a = h 2 π r 0 ( T S - T ∞ )

Com um balanço energético, temos que:

E ˙ ' g - E ˙ ' s a i d a = 0

Ou seja:

E ˙ ' g = E ˙ ' s a i d a

Substituindo as equações:

π q ˙ 0 r 0 2 2 = h 2 π r 0 ( T S - T ∞ )

Simplificando:

T S - T ∞ = q ˙ 0 r 0 4 h

T S = T ∞ + q ˙ 0 r 0 4 h Desse modo, a expressão para a temperatura T s da parede do recipiente se dá por:

T S = T ∞ + q ˙ 0 r 0 4 h

Resposta

E ˙ ' g = π q ˙ 0 r 0 2 2

T S = T ∞ + q ˙ 0 r 0 4 h

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