Repita o Problema 7-54, exceto que a velocidade do som c em um gás ideal é considerada uma função apenas da temperatura absoluta T e da constante específica do gás ideal R g á s .Mostrando todo o seu trabalho, use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros.

Passo 1

Vamos começar observando as principais diferenças dessa questão para a questão anterior!

A lista dos parâmetros relevantes era:

c = f ( k ,   T ,   R g á s ) n = 4

A de agora é:

c = f ( T ,   R g á s ) n = 3

A gente tem um parâmetro relevante a menos, que é o k .

Passo 2

Agora a gente pode dar uma coladinha na questão 54 que já tem as dimensões primárias que a gente vai precisar!

c = { L 1 t - 1 }

T = { T 1 }

R g á s = { L 2 t - 2 T - 1 }

Passo 3

Como nossos parâmetros são descritos por 3 dimensões básicas ( T ,   L   e   t ) o primeiro chute de j = 3

Substituindo no teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j = 3 - 3 = 0

Opaa, tem alguma coisa errada, como assim nenhum grupo π ?! Vamos reduzir j para j = 2 :

k = n - j = 3 - 2 = 1

Devemos esperar um único grupo π !

Passo 4

Já que vamos considerar j = 2 precisamos encontrar nossos dois parâmetros repetidos!

Relembrando nossos parâmetros:

c = f (   T ,   R g á s )

Aqui não tem mistério, c a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente, então sobra T e R g á s !

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso grupo π !

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π = 1 = { ( c ) × T a × ( R g á s ) b }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π = L 0 t 0 T 0 = { ( L 1 t - 1 ) × T 1   a × L 2 t - 2 T - 1 b }

Agora equacionando:

Comprimento:

L 0 = L 1 × L 2 b

0 = 1 + 2 b

b = - 1 2

Tempo:

t 0 = t - 1 × t - 2 b

0 = - 1 - 2 b

b = - 1 2

Temperatura:

T 0 = T a × T - b

a = b

Substituindo a e b temos:

π = { ( c ) × T - 1 / 2 × ( R g á s ) - 1 / 2 }

Organizando:

π = c T R g á s

Opaaa, ele é igual ao que a gente encontrou na questão 54 !

Isso aconteceu porque o paâmetro que a gente tirou ( k ) era adimensional!

Passo 6

Agora é aquele momento que a gente escreve a relação entre os grupos π , mas aqui a gente só tem um grupo π ! Como ele não vai ser uma função de nada, logo a gente espera que ele seja igual a uma constante!

π = c T R g á s = c o n s t a n t e

Resposta

c T R g á s = c o n s t a n t e

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