Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 57
Repita o Problema 9-56 para o caso de uma linha de sumidouros em lugar de uma linha de fontes. Suponha que seja um valor positivo, mas o escoamento em todos os pontos é na direção oposta.
Passo 1
O problema quer que a gente repita o Problema 9-56 com uma única mudança: o sentido do escoamento em todos pontos está oposto ao sentido de escoamento do Problema 9-56. Esse escoamento, onde todas as partículas d efluído se movimentam em direção a um mesmo ponto, é chamado de sumidouro. Ele está representado pela figura abaixo.
onde é a vazão volumétrica total por unidade de largura em direção ao centro do escoamento.
Por essa figura nós vemos que, como o escoamento do fluido é oposto ao escoamento do Problema 9-56, o sinal da vazão volumétrica total por unidade de largura é oposto ao sinal d avazão do Problema 9-56.
Passo 2
O problema quer saber quanto vale a função corrente ao longo do eixo positivo e quanto vale a função corrente ao longo do eixo negativo. Para calcular esses dois valores, temos que nos lembrar da equação 9-25 do livro. Ela diz que a vazão por unidade de largura que passa entre duas linhas de correntes e , deve ser igual a .
A figura abaixo mostra as linhas de corrente e a vazão por unidade de largura da nossa questão.
Agora nós temos que aprender a usar essa equação para calcular o que queremos.
Passo 3
Para calcular o valor da função corrente ao longo do lado positivo do eixo , podemos usar a equação para o escoamento entre duas linhas de corrente: a linha de corrente que está sobre o eixo positivo (que tem o valor de função corrente igual a segundo o enunciado) e a linha de corrente que está sobre o eixo positivo (que tem o valor de função corrente igual a ). Essas duas linhas de corrente estão representadas na figura abaixo.
onde é a vazão volumétrica por unidade de largura do escoamento entre as linhas de corrente sobre o eixo positivo e sobre o eixo positivo.
Substituindo por , por e por , achamos:
A equação acima mostra que para achar , precisamos encontrar .
Passo 4
pode ser calculado usando regra de três e lembrando que é a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo. Como é a vazão por unidade de largura que passa por do perímetro do círculo, podemos formular a seguinte pergunta: se a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo vale , quanto vale a vazão por unidade de largura que atravessa do perímetro do círculo?
A vazão por unidade de largura de do perímetro total do círculo vale da vazão total por unidade de largura .
Substituindo isso na equação de , achamamos:
Passo 5
Podemos repetir o mesmo processo para calcular o valor da função corrente da linha de corrente que está sobre o eixo negativo. Só que agora, vamos usar a equação para o escoamento entre outras duas linhas de corrente: a linha de corrente que está sobre o eixo positivo (que tem o valor de função corrente igual a segundo o enunciado) e a linha de corrente que está sobre o eixo negativo (que tem o valor de função corrente igual a ). Essas duas linhas de corrente estão representadas na figura abaixo.
onde é a vazão volumétrica por unidade de largura do escoamento entre as linhas de corrente sobre o eixo positivo e sobre o eixo negativo.
Substituindo por , por e por , achamos:
A equação acima mostra que para achar , precisamos encontrar .
Passo 6
também pode ser calculado usando regra de três e lembrando que é a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo. Como é a vazão por unidade de largura que passa por do perímetro do círculo, podemos formular a seguinte pergunta: se a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo vale , quanto vale a vazão por unidade de largura que atravessa do perímetro do círculo?
A vazão por unidade de largura de do perímetro total do círculo vale da vazão total por unidade de largura .
Substituindo isso na equação de , achamamos: