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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 54

Se a velocidade média no ramo principal do duto do Problema 9-53 for 11,4   m / s , calcule a altura h do duto em c m . Obtenha o seu resultado de duas maneiras, mostrando todo o seu trabalho. Você pode usar os resultados do Problema 9-53 apenas em um dos métodos.

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule a abertura h do duto de duas formas. Uma forma usará o valor da vazão total por unidade de largura V ˙ / W que foi calculada no Problema 9-53 e a equação de definição da vazão volumétrica que se encontra abaixo.

V ˙ = V m é d i a ⋅ A

onde A é a área pela qual o escoamento passa. Ela é a largura W do duto multiplicada pela altura h do duto.

V ˙ = V m é d i a ⋅ A     ⟹     V ˙ = V m é d i a ⋅ W ⋅ h

A outra forma de calcular h é fazendo estimativas das derivadas da função corrente ψ e usar essas estimativas na equação 9-20 do livro.

u = ∂ ψ ∂ y

onde u é a componente do eixo x da velocidade do fluido.

Para fazer esses dois tipos de cálculos, temos que usar os dados mostrados pela figura abaixo.

W é a largura do duto, h é a altura do canal do duto. V m é d i a é a velocidade média do fluido no ramo principal do duto. ψ são os valores da função corrente em algumas linhas de corrente. ψ u é o valor da função corrente da linha corrente mais acima do escoamento. ψ l é o valor da função corrente da linha corrente mais abaixo do escoamento.

No próximo passo vamos calcular h da primeira forma.

Passo 2

Para calcular h a partir da equação de definição va zão volumétrica V ˙ , temos que reorganizar essa fórmula.

V ˙ = V m é d i a ⋅ W ⋅ h       ⟹       h = V ˙ W ⋅ 1 V m é d i a

Como nós conhecemos os valores de V ˙ W e V m é d i a , já podemos calcular h .

h = V ˙ W ⋅ 1 V m é d i a     ⟹     h = 2,12 ⋅ 1 11,4     ⟹     h = 0,186   m

Passo 3

A segunda forma de calcular é a partir da equação da velocidade u . Mas como podemos calcular h a partir essa informação se não conhecemos quanto vale ∂ ψ ∂ y nem quanto vale u ?

A gente pode considerar que o escoamento do fluido no ramo principal do duto é uniforme e com velocidade igual a V m é d i a . Ou seja, a velocidade u é considerada igual à velocidade média V m é d i a .

u = V m é d i a

Além disso, nós podemos estimar a derivada ∂ ψ ∂ y , dividindo a variação total de ψ no ramo principal Δ ψ = ψ u - ψ l pela variação total de y das duas placas Δ y = h . A equação dessa estimativa se encontra abaixo.

u = ∂ ψ ∂ y     ⟹     V m é d i a = Δ ψ Δ y     ⟹     V m é d i a = ψ u - ψ l h

Reorganizando essa equação, achamos uma fórmula para h .

h = ψ u - ψ l V m é d i a

Substituindo os dados que temos nessa equação:

h = ψ u - ψ l V m é d i a       ⟹       h = 4,15 - 2,03 11,4       ⟹       h = 0,186   m

Resposta

h = 0,186   m

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