Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 35
Resultados numéricos da solução de Blasius para as equações de Prandtl da camada limite são apresentados na Tabela 9.1. Considere o escoamento em regime permanente, incompressível, de ar-padrão sobre uma placa com a velocidade de corrente livre . Em , estime a distância da superfície para qual . Avalie a inclinação da linha de corrente que passa por esse ponto. Obtenha uma expressão algébrica para o atrito de superfície local, . Obtenha uma expressão algébrica para a força de arrasto total de atrito de superfície sobre a placa. Avalie a espessura de quantidade de movimento para
Passo 1
Ih tem ele pediu bastante coisa, né? Haha
Mas calma, vamos por partes. Precisamos achar:
- o valor de (distância da superfície) quando , em .
- a inclinação da linha de corrente nesse ponto:
- expressão para
- expressão para a força total de arrasto
- expessura de quantidade de movimento para
Isso tudo para . Vamos lá
Passo 2
Podemos lembrar que por Blasius:
Então:
A gente quer quando . Juntando essa informação com a equação acima:
Aí a gente precisa olhar na nossa tabela de resultados numéricos de Blasius. Lá não tem exatamente, mas tem:
A gente pode estimar usando proporção:
Resolvendo essa equação:
Passo 3
Com o valor de , a gente pode usar essa equação:
Substituindo todos os valores que a gente tem até agora e considerando para o ar a :
Passo 4
Agora a gente quer a inclinação da linha de corrente nesse ponto que acabamos de achar.
A inclinação da linha de corrente tem essa carinha:
A partir das equações de Blasius a gente descobre que:
Reescrevendo a linha de corrente com esses valores:
No ponto que a gente quer . Aí se você reparar a gente tem quase todos os valores para calcular a inclinação, só falta .
Vamos usar proporção de novo:
Agora a gente tem tudinho, só jogar os valores na fórmula da inclinação:
Além disso, a gente pode reescrever nossa fórmula, jogando o para dentro da raiz:
Lembrando que:
Passo 5
Chegou o momento de acharmos uma expressão para . Vem comigo!
Para esse cisalhamento na parede, a gente precisa fazer:
Lembrando que
Vamos substituir uma na outra e fazer :
A derivada da direita zera porque em .
Então ficamos com:
Pela regra da cadeia:
Multiplicando tudo por , arrumando e substituindo
Passo 6
Para achar a expressão para a força de arrasto total, precisamos calcular a integral:
Considerando como largura da placa e como comprimento:
Multiplicando tudo por , arrumando e substituindo :
Passo 7
Para finalizar, vamos achar a expessura de quantidade de movimento para .
Pela equação integral da quantidade de movimento:
Integrando os dois lados, lembrando que :
Ih essa integral parece , mas sem o . Vamos reescrever:
Lembrando que:
Substituindo os valores do enunciado nessas expressões aí e considerando para o ar a :