Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 118
Seja a pilha de células a combustível do Problema 1.58. As membranas com espessura t = 0,42 mm têm uma condutividade térmica nominal de que pode ser aumentada para , através da adição de 10%, em volume, de nanotubos de carbono nas camadas de catalisador. Há na membrana geração de energia volumétrica uniforme a uma taxa . Ar, a , fornece um coeficiente convectivo em um lado da membrana, enquanto hidrogênio, a e, escoa no lado oposto da membrana. Os canais de escoamento têm 2L = 3 mm de largura. A membrana está presa entre placas bipolares, cujas temperaturas são .
- Deduza a equação diferencial que governa a distribuição de temperaturas T(x) na membrana.
- Obtenha uma solução para a equação diferencial, supondo que a membrana está na temperatura da placa bipolar em x = 0 e x = 2L.
- Represente a distribuição de temperaturas T(x) de x = 0 até x = L para cargas de nanotubos de carbono de 0% e 10%, em volume. Comente sobre a capacidade dos nanotubos de carbono de manterem a membrana abaixo de sua temperatura de amolecimento igual a 85°C.
Passo 1
Vamos que vamos galerinhaa??
Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?
Então, se pegarmos um pedacinho da membrana de comprimento :
Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, e , e saindo do volume de controle, , e Então:
Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?
A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:
E para uma distância
A transferência de calor por convecção pode ser dada como:
E a última que precisamos achar é a transferência de calor por radiação:
Agora nós podemos substituir tudo que temos:
Como o dx está presente em todos os termos:
Como
E substituindo
Reescrevendo:
Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por .
Bora seguir pra letra (b)??
Passo 2
Na letra (b) nós queremos uma solução para a equação diferencial usando condições de contorno apropriadas.
Se nós assumirmos que:
Então:
Na fórmula da letra (a):
Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:
Onde:
Aplicando a primeira condição de contorno, quando e , então:
Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando e
Então nós precisamos derivar a solução que nós achamos, certo?
Igualando a zero e substituindo por
Substituindo na primeira equação do contorno o que acabamos de achar:
Isolando
Substituindo em
Colocando na solução:
Reorganizando:
Passo 3
Para a letra (c) nós precisamos lembrar que:
Sabemos que:
Nossa equação do passo 2 ficará assim:
Agora o próximo passo é achar S e
Quando
Agora que nós temos todos os dados vamos variar a distância de 0 m até 0,0015 m, comprimento total da membrana L.
Quando plotamos o gráfico:
Quando
E fazendo a mesma coisa teremos:
Então, nós vimos que os nanotubos de carbono são eficazes na redução da temperatura máxima da membrana, certo?
Legal, não foi?
