Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 113
Seja a placa plana do Problema 3.112, porém com os sumidouros de calor a temperaturas diferentes, e , e com a superfície inferior não mais isolada termicamente. Agora pode ocorrer transferência de calor por convecção entre a superfície inferior da placa e um fluido a , com um coeficiente convectivo h.
- Deduza a equação diferencial que determina a distribuição de temperaturas no regime estacionário T(x) na placa.
- Resolva a equação anterior para a distribuição de temperaturas e obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor da placa para os sumidouros de calor.
- Para , , , , e uma largura da placa de , represente a distribuição de temperaturas e determine as taxas de transferência de calor para os sumidouros, e . No mesmo gráfico, represente três distribuições de temperaturas adicionais correspondentes a variações nos seguintes parâmetros, com os demais parâmetros permanecendo inalterados: e o valor de para o qual quando .
Passo 1
Vamos que vamos galerinhaa??
Respirem fundo porque essa aqui é daquelas ...
Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?
Então, se pegarmos um pedacinho da placa de comprimento :
Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, e , e saindo do volume de controle, e Então:
Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?
A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:
E para uma distância
E a última que precisamos achar é o fluxo térmico líquido para a sua superfície superior:
A transferência de calor por convecção pode ser dada como:
Agora nós podemos substituir tudo que temos:
Como o dx está presente em todos os termos:
E substituindo
Reescrevendo:
Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por .
Bora seguir pra letra (b)??
Passo 2
Na letra (b) nós queremos resolver equação anterior para a distribuição de temperaturas e obter uma expressão para a taxa de transferência de calor da placa, ok?
Se nós assumirmos que:
Então:
Na fórmula da letra (a):
Quando nós temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes a solução é dada pela forma:
Onde:
Aplicando a primeira condição de contorno, quando e , então:
Isolando
Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando e
Substituindo
Isolando
E agora achando
Substituindo na solução nossas constantes:
Se nós reorganizarmos um pouquinho isso aqui:
Eu sei que vocês já estão cansados, mas calmem aee!!
Precisamos agora de calcular a taxa de calor da placa, que nos é dado por:
Pelo Passo 1 nós sabemos que:
Derivando
Se
Se
Mas queremos a transferência para a placa, certo? Então:
Finalizamos a (b), mas ainda temos a (c) !
Passo 3
Sabemos que:
Se:
Então:
Lançando nas fórmulas do Passo 2:
Para o próximo:
Bom galerinha, ainda não acabamos né?
Só precisamos lançar estes dados em um gráfico, montaremos quatro casos:
Quando variamos a nossa distância x de até o comprimento total da placa de nós teremos a temperatura da placa mudando, certo?
Vimos sua equação no Passo 2 então é só substituir, ok?
Ou melhor:
O gráfico gerado será:
Bem puxada não foi ?!