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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 13

O cilindro da figura gira em torno de seu eixo com rotação constante ω . O líquido nele contido forma a superfície livre indicada e, a fim de determinar o desnível h , aplicou-se a equação de Bernoulli entre (1) e (2), obtendo-se h = - ω R 2 2 g , quando se sabe que o resultado correto é h = ω R 2 2 g . Explicar, aplicando a equação de Euler, porque a equação de Bernoulli falha ao determinar o resultado.

Passo 1

Primeiro vamos resolver a questão por Bernoulli

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

A pressão é a atmosférica em ambos os casos, então podemos ignorá-la.

v 1 2 2 + g z 1 = v 2 2 2 + g z 2

O ponto (2) é o centro de rotação, então sua velocidade linear é igual a zero:

v 1 2 2 + g z 1 = g z 2

Por ser um movimento circular, podemos determinar a velocidade linear na região (1)

v 1 = ω R

Aplicando:

ω R 2 2 + g z 1 = g z 2

Vamos reorganizar para explicitar a diferença entre as alturas:

g z 1 - g z 2 = - ω R 2 2

z 1 - z 2 = - ω R 2 2 g

h = - ω R 2 2 g

Passo 2

Como mostrado na página 292 do livro, uma solução para a equação de Euler é:

a x = ∂ ∂ x - g → z - p ρ

Se aplicarmos essa solução para a direção radial, termos:

a r = ∂ ∂ r - g → z - p ρ

Como não há aceleração angular, a única aceleração que atua é no sentido (aceleração centrípeta):

a → = - ω 2 r ⋅ e → r

Para a direção radial

- ω 2 r ⋅ e → r = ∂ ∂ r - g → z - p ρ

Continuando:

- ω 2 r ⋅ ∂ r = ∂ - g → z - p ρ

Integrando:

∫ - ω 2 r ⋅ ∂ r = ∫ ∂ - g → z - p ρ

- ω 2 ∫ r ⋅ ∂ r = - ∫ ∂ g → z + p ρ

ω 2 ∫ r ⋅ ∂ r = ∫ ∂ g → z + p ρ

ω 2 r 2 2 + K = g → z + p ρ

Para r = 0 temo que z=0, p 2 = 0

K = 0

Logo:

ω 2 r 2 2 = g → z + p ρ

Para r = R , a pressão ainda é zero, e z = h

ω 2 R 2 2 = g → h + 0 ρ

h = ω 2 R 2 2 g

Passo 3

Para que a equação de Bernoulli seja válida o escoamento deve ser não rotacional. E este escoamento é, em essência, uma rotação. Por isso a equação de bernoulli trará resultados incorretos.

Resposta

Para que a equação de Bernoulli seja válida o escoamento deve ser não rotacional. E este escoamento é, em essência, uma rotação. Por isso a equação de bernoulli trará resultados incorretos.

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