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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 87

Um líquido newtoniano incompressível está confinado entre dois cilindros circulares concêntricos de comprimento infinito - um cilindro interno sólido de raio R i e um cilindro oco, permanente, externo de raio R o (Na Fig. P9–87; o eixo z está fora do página). O cilindro interno gira na velocidade angular ω i . O escoamento é permanente, laminar e bidimensional no plano r θ . O escoamento é também rotacionalmente simétrico, o que significa que nada é função da coordenada θ ( u θ   e P são funções apenas do raio r). O escoamento também é circular, o que significa que o componente de velocidade u r = 0 em todos os lugares. Encontre uma expressão exata para o componente de velocidade u θ em função do raio r e dos outros parâmetros no problema. Você pode ignorar a gravidade. (Dica: O resultado do Prob. 9–86 é útil.)

Passo 1

Shoooow galerinha, vamos continuando?!

Mas antes as nossas considerações, o problema já nos disse que podemos negligenciar os efeitos da gravidade, g r = g θ = 0 .

Se a velocidade é bidimensional, teremos que w   =   0 e as derivadas de qualquer componente de velocidade em relação a z são zero !!

Se o escoamento é permanente as derivadas com relação ao tempo são zero. E mais uma coisinha importante, como o escoamento é circular teremos que u r = 0 .

Também sabemos que o escoamento é rotacionalmente simétrico, o que significa que nada irá varia com relação a θ !!

Beleza !! Agora nós podemos começar lembrando da equação da continuidade para as coordenadas cilíndricas:

1 r ∂ r u r ∂ r + 1 r ∂ u θ ∂ θ = 0

Se:

∂ r u r ∂ r = ∂ r × 0 ∂ r = 0

∂ u θ ∂ θ = 0

Então:

0 = 0

Isso nos diz que a equação da continuidade foi satisfeita!!

Passo 2

Se a equação da continuidade é satisfeita nós podemos usar a equação de Navier – Stokes.

Para a direção θ :

ρ ∂ u θ ∂ t + u r ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r = - 1 r ∂ P ∂ θ + ρ g θ + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 u θ ∂ θ 2 - 2 r 2 ∂ u r ∂ θ

Então precisamos de algumas derivadas, certo?

Como não há variação com o tempo:

∂ u θ ∂ t = 0

E como tempos simetria rotacional:

∂ P ∂ θ = 0

∂ u θ ∂ θ = 0

∂ 2 u θ ∂ θ 2 = 0

Substituindo:

ρ 0 + 0 ∂ u θ ∂ r + u θ r 0 + 0 u θ r = - 1 r 0 + ρ 0 + μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 + 1 r 2 0 - 2 r 2 ∂ 0 ∂ θ

μ 1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 = 0

O problema 9.86 nos disse que:

1 r ∂ ∂ r r ∂ u θ ∂ r - u θ r 2 = μ ∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + ∂ ∂ r u θ r  

Substituindo:

μ ∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + ∂ ∂ r u θ r   = 0

∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + ∂ ∂ r u θ r = 0

∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + u θ r = 0

E agora o próximo passo é integrar, certo?

∫ ∂ ∂ r ∂ u θ ∂ r + u θ r = ∫ 0

∫ ∂ ∂ u θ ∂ r + u θ r = ∫ 0 . ∂ r

∂ u θ ∂ r + u θ r = C 1

Dando uma arrumada para ficar menos feio. Né?

r ∂ u θ ∂ r + u θ = C 1 r

E olha que legal, este termo nós vimos no exercício anterior:

r ∂ u θ ∂ r + u θ = ∂ ( r u θ ) ∂ r

Então:

∂ ( r u θ ) ∂ r = C 1 r

Integrando:

∫ ∂ ( r u θ ) ∂ r = ∫ C 1 r

∫ ∂ ( r u θ ) = ∫ C 1 r . ∂ r

r u θ = C 1 r 2 2 + C 2

u θ = C 1 r 2 + C 2 r

Passo 3

Agora nós precisamos achar estas duas constantes que apareceram aí, não é?

E para isso precisamos das queridíssimas condições de contorno!!

Segundo a condição de contorno de antiderrapante, as paredes do cilindro são estacionárias, ou seja:

r = R 0   →     V → = 0

Se a velocidade é zero devido ao estado estacionário:

u r = 0 ;     u θ = 0 ;     u z = 0

Portanto:

0 = C 1 R 0 2 + C 2 R 0

C 2 R 0 = - C 1 R 0 2

C 2 = - C 1 R 0 2 2

Já na parede interna há rotação, portanto:

r = R i     →     u θ = R i ω i

Substituindo:

R i ω i = C 1 R i 2 + C 2 R i

E agora C 2 :

R i ω i = C 1 R i 2 - C 1 R 0 2 2 R i

2 R i 2 ω i = C 1 R i 2 - C 1 R 0 2

2 R i 2 ω i = C 1 ( R i 2 - R 0 2 )

C 1 = 2 R i 2 ω i R i 2 - R 0 2

Substituindo na nossa componente da velocidade:

u θ = R i 2 ω i R i 2 - R 0 2 . r - C 1 R 0 2 2 r

u θ = R i 2 ω i R i 2 - R 0 2 . r - R i 2 R 0 2 ω i r R i 2 - R 0 2

u θ = R i 2 ω i R i 2 - R 0 2 r - R 0 2 r

Admito que é um pouco trabalhoso, mas foi bem legal, não foi?

Aguardo vocês na próximaa !!!

Resposta

u θ = R i 2 ω i R i 2 - R 0 2 r - R 0 2 r

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