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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 7

A spherical tank, of diameter 35 cm, is leaking air through

a 5-mm-diameter hole in its side. The air exits the hole at

360 m/s and a density of 2.5 kg/m3. Assuming uniform

mixing, (a) find a formula for the rate of change of average

density in the tank and (b) calculate a numerical value for

(dρ/dt) in the tank for the given data.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) Da equação de continuidade,

d m d t sistema   = 0 d ρ tanque   v tanque   d t + m ˙ sai   = 0 v tanque   d ρ tanque   d t + ( ρ A V ) sai   = 0 v tanque   d ρ tanque   d t = - ( ρ A V ) sai   d ρ tanque   d t = - ( ρ A V ) sai   v tanque  

Aqui, v tanque é o volume do tanque, ρ tanque é a densidade do fluido no tanque, V é a velocidade do fluxo através do orifício e A é a área do buraco. Portanto, a fórmula para a taxa de variação da densidade é

d ρ tanque   d t = - ( ρ A V ) sa i   v tanque  

Passo 2

(b) A taxa de variação da densidade é dada por,

d ρ tanque   d t = - ( ρ A V ) sa i   v tanque   d ρ tanque   d t = - ρ π 4 d 2 V π 6 D 3

Aqui, D é o diâmetro do tanque e d é o diâmetro do buraco. Substituir 2.5   k g / m 3 por ρ , 0.35   m D , 0.005   m para d , e 360   m / s por V

d ρ tanque   d t   = - 2.5 × π 4 ( 0.005 ) 2 × 360 π 6 ( 0.35 ) 3   = - 0.787   k g / m 3 ⋅ s

Portanto, a taxa de mudança de densidade é - 0.787   k g / m 3 ⋅ s .

Resposta

a) d ρ tanque   d t = - ( ρ A V ) sa i   v tanque  

b) d ρ tanque   d t = - 0.787   k g / m 3 ⋅ s

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