16 – Em um tanque solar, a absorção de energia solar pode ser modelada como geração de calor aproximada por e g e r ˙ = e ˙ 0 e - b x , onde e ˙ 0 é a taxa de absorção de calor na superfície superior por unidade de volume e b é a constante. Obtenha a relação da taxa total de geração de calor na camada de água da área de superfície A e espessura L no topo do tanque.

Passo 1

A relação entre a geração de calor e a profundidade é dada como 

e g e r ˙ = e ˙ 0 e - b x

Aqui,  e ˙ 0   é a taxa de absorção de calor por unidade de área na superfície superior,  b  é a constante e  x  é a variação da profundidade.

A taxa de geração de calor para uma pequena superfície do topo do tanque é dada por,

d q ˙ = e g e r d V ˙

= e ˙ 0 e - b x A d x

Aqui,  A  é a área da superfície,  d x   é a pequena profundidade do tanque e  d V  é o volume do topo do tanque.

Passo 2

Encontre a relação para a taxa total de geração de calor no tanque, integrando a pequena profundidade da camada do tanque em toda a sua profundidade  L .

Q ˙ = ∫ x = 0 L d q ˙

= ∫ 0 L e ˙ 0 e - b x ( A d x )  

= e ˙ 0 A ∫ 0 L e - b x d x  

= e ˙ 0 A e - b x - b 0 L

Q ˙ = -   e ˙ 0 A e - b L - 1 b  

Portanto, a taxa total de geração de calor na camada de água da área de superfície A e espessura L no topo do tanque é

Q ˙ = -   e ˙ 0 A 1 - e - b L b

Resposta

Q ˙ = -   e ˙ 0 A 1 - e - b L b

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