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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 74

A temperatura do solo nas camadas superiores varia em condições atmosféricas. Antes de uma frente fria chegar, ao solo no local está a uma temperatura uniforme de 15   ° C . Em seguida, a área é submetida a uma temperatura de - 8   ° C e a ventos fortes que resultam em um coeficiente de transferência de calor por convecção de 40   W / ( m 2 . K ) na superfície, por um período de 10 horas. Considerando que as propriedades do solo no local são k   =   0,9   W / ( m . K ) e α = 1,6 . 10 - 5   m 2 / s , determine a temperatura do solo para as distâncias de 0 ,   10 ,   20 e 50   c m a partir da sua superfície, no final do período de 10 horas.

Passo 1

Vamos lá pessoal! A primeira coisa a se fazer é assumir hipóteses. Nessa questão temos como assumir que:

  • A temperatura no solo é afetada pelas condições atmosféricas em apenas uma superfície e, portanto, o solo pode ser considerado como um meio semi-infinito com uma temperatura superficial especificada.
  • O solo possui propriedades térmicas constantes. Isso quer dizer que k = 0,9   W / ( m . K ) e α = 1,6 . 10 - 5 m 2 / s são constantes.
  • O coeficiente de transferência de calor h é constante e uniforme em toda a superfície sendo ele h = 40   W / ( m 2 . K ) .

Passo 2

Agora vamos para a análise do problema! Como dito no enunciado, a temperatura do solo nas camadas superiores varia dependendo das condições atmosféricas com um coeficiente de transferência de calor especificado na superfície do sólido, ou seja, em   x = 0 . Por conta disso, a distribuição de temperatura em regime transiente unidimensional no solo pode ser determinada pela equação abaixo:

T ( x , t )   -   T i   T ∞   -   T i = e r f c x 2 α . t - e x p h . x k - h 2 . α . t k 2 . e r f c x 2 α . t + h . α . t k

Passo 3

Sabemos, do enunciado, que a área do solo é submetida a uma temperatura de - 8   ° C e a ventos fortes por um período de 10 horas, ou seja, t = 10   h . 3600   s 1   h = 36000   s . Com isso, podemos calcular os seguintes valores:

h 2 . α . t k 2 = 40 2 .   1,6 . 10 - 5 .   36000 0,9 2 = 1137.8

h . α . t k   = h 2 . α . t k 2 = 33.7

Concluímos então que o último termo na relação de distribuição de temperatura acima deve ser zero, ou seja, e r f c x 2 α . t + h . α . t k = 0 , independentemente de x! Podemos dizer isso pois, da tabela 4-4, e r f c   ( η )   →   0 quando η >   4 . Como η =   x 2 α . t + h . α . t k e x 2 α . t   >   0 , temos que, com certeza, η >   4 .

Uma pequena observação é válida: o termo e r f c η deve permanecer inferior a 1 para ter soluções fisicamente significativas.

Portanto,

e x p h . x k - h 2 . α . t k 2 . e r f c x 2 α . t + h . α . t k = 0

Passo 4

Sabendo disso, a distribuição de temperatura em regime transiente unidimensional no solo pode ser simplificada e escrita como:

T ( x , t )   -   T i   T ∞   -   T i = e r f c x 2 α . t

Como estamos buscando determinar a temperatura do solo podemos reescrever a equação acima:

T x , t = T ∞   -   T i . e r f c x 2 α . t +   T i

Passo 5

Finalmente vamos para os cálculos, pessoal! As temperaturas a 0 ,   10 ,   20   e   50   c m   de profundidade da superfície do solo são:

  • Substituindo na equação x = 0 e t = 36000   s , temos:

    • T x , t = T ∞   -   T i . e r f c x 2 α . t +   T i

    T 0 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0 +   T i

    Da tabela 4-4, temos que e r f c 0 = 1 , portanto:

    T 0 ,   36000 = T ∞   -   T i . 1 +   T i  

    T 0 ,   36000 = T ∞

    T 0 ,   36000 = - 8   ° C

  • Substituindo na equação x = 0,1   m e t = 36000   s , temos:

    • T x , t = T ∞   -   T i . e r f c x 2 α . t +   T i

    T 0,1 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0,1 2 α . t +   T i

    T 0,1 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0,066 +   T i

    Da tabela 4-4, temos que e r f c 0,066 = 0,9257 , portanto:

    T 0,1 ,   36000 = T ∞   -   T i . 0,9257 +   T i  

    T 0,1 ,   36000 = 0,9257 . T ∞ + 0,0743 . T i  

    T 0,1 ,   36000 = 0,9257 . ( - 8 ) + 0,0743.15

    T 0,1 ,   36000 =   - 6,3   ° C

  • Substituindo na equação x = 0,2   m e t = 36000   s , temos:

    • T x , t = T ∞   -   T i . e r f c x 2 α . t +   T i

    T 0,2 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0,2 2 α . t +   T i

    T 0,2 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0,132 +   T i

    Da tabela 4-4, temos que e r f c 0,132 = 0,8519 , portanto:

    T 0,2 ,   36000 = T ∞   -   T i . 0,8519 +   T i  

    T 0,2 ,   36000 = 0,8519 . T ∞ + 0,1481 . T i  

    T 0,2 ,   36000 = 0,8519 . ( - 8 ) + 0,1481.15

    T 0,2 ,   36000 =   - 4,6   ° C

  • Substituindo na equação x = 0,5   m e t = 36000   s , temos:

T x , t = T ∞   -   T i . e r f c x 2 α . t +   T i

T 0,5 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0,5 2 α . t +   T i

T 0,5 ,   36000 = T ∞   -   T i . e r f c 0,329 +   T i

Da tabela 4-4, temos que e r f c 0,329 = 0,6418 , portanto:

T 0,5 ,   36000 = T ∞   -   T i . 0,6418 +   T i  

T 0,5 ,   36000 = 0,6418 . T ∞ + 0,3582 . T i  

T 0,5 ,   36000 = 0,6418 . ( - 8 ) + 0,3582.15

T 0,5 ,   36000 =   - 0,2   ° C

Resposta

Portanto, a temperatura do solo para as distâncias de 0 ,   10 ,   20 e 50   c m a partir da sua superfície, no final do período de 10 horas é respectivamente:

T 0 ,   36000 = - 8   ° C

T 0,1 ,   36000 =   - 6,3   ° C

T 0,2 ,   36000 =   - 4,6   ° C

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