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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 26

A thin layer of liquid, draining from an inclined plane, as in

Fig. P3.26, will have a laminar velocity profile u

U0(2y/h 2 y2/h2), where U0 is the surface velocity. If the

plane has width b into the paper, determine the volume rate

of fl ow in the fi lm. Suppose that h 5 0.5 in and the flow rate

per foot of channel width is 1.25 gal/min. Estimate U0 in ft/s

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Escreva a expressão dada para o perfil de velocidade do filme.

u = U 0 2 y h - y 2 h 2

Aqui, h é a altura do filme e y é a distância medida da superfície da inclinação.

Passo 2

Encontre a expressão para a taxa de fluxo de volume do filme.

Q = ∫   u d A

Substitua U 0 2 y h - y 2 h 2 para u e b d y para d A .

Q   = ∫ 0 h     U 0 2 y h - y 2 h 2 b d y Q   = U 0 b ∫ 0 h     2 y h - y 2 h 2 d y Q   = U 0 b 2 y 2 2 h - y 3 3 h 2 0 h   = U 0 b 2 h 2 2 h - h 3 3 h 2   = U 0 b 2 h 3   = 2 U 0 h b 3

Aqui, b é a largura do filme medida no papel. Portanto, a taxa de fluxo de volume do filme é

Q = 2 U 0 h b 3

Passo 3

Estimar o valor de U 0 a partir da expressão obtida para a vazão. Substitua 1.25 g a l / m i n por Q , 0.5 in. por h , e 1 f t por b .

Q = 2 U 0 h b 3 1.25 g a l / m i n = 2 U 0 ( 0.5 i n ) ( 1 f t ) 3 1.25 g a l / m i n × 0.133681 f t 3 1 g a l × 1   m i n 60   s ∣ = 2 U 0 0.5 i n × 1 f t 12 i n ( 1 f t ) 3 0.002785 f t   3 / s = 2 U 0 × 1 f t × 0.5 12 f t 3 U 0 = 0.002785 × 3 2 0.5 12 U 0 = 0.10026 f t / s

Portanto, o valor de U 0 é 0.10026 f t / s .

Resposta

Q = 2 U 0 h b 3

U 0 = 0.10026 f t / s

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