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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 65

Uma viga de concreto (mistura com pedras) cilíndrica com diâmetro D = 0,5 m, inicialmente a Ti = 20°C, é exposta a gases quentes a T∞ = 500°C. O coeficiente convectivo é h = 10 W/(m2 · K).

(a) Determine a temperatura no eixo central da viga após um tempo de exposição de t = 6 h.

(b) Determine a temperatura do eixo central de uma segunda viga que tem o mesmo tamanho e está exposta às mesmas condições da parte (a), mas é fabricada com concreto agregado leve, com massa específica ρ = 1495 kg/m3, condutividade térmica k = 0,789 W/(m · K), e calor específico cp = 880 J/(kg · K).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Temos uma viga cilíndrica de concreto sendo aquecida por um fluido. Queremos calcular a temperatura da viga após 6 h de exposição a gases quentes.

Se a gente supor tempos muito longos ( F o > 0,2 ) podemos calcular a temperatura adimensional no centro do cilindro ( x * = 0 ) a partir da equação:

ϴ 0 * = T 0 - T ∞ T i - T ∞ =   C 1 e x p ⁡ ( - ζ 1 ² F o )

Sendo   C 1 e ζ 1 coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, F o o adimensional Número de Fourier, T 0 a temperatura no centro do cilindro, T i a temperatura inicial e T ∞ a temperatura do ar.

Nos dois itens desse problema, devemos calcular a temperatura no centro do cilindro para cilindros de diferentes materiais. Mas isso aí a gente conversa nos próximos passos.

Antes que a gente vá pro passo 2, tem algumas propriedades que eu quero que você guarde e que vamos utilizar tanto para o item (a) quanto para o item (b):

T i   =   20 ° C     T ∞ = 500   ° C R = 0,5   m   2 = 0,25   m h   =   10 W m ²   ·   K t = 6   h = 21600   s

Passo 2

Para resolver o item (a), devemos ir na Tabela A.3 (página 631) para encontrar as propriedades do concreto com brita. Sendo assim, temos as seguintes propriedades:

k   =   1,4   W m . K ρ = 2300 k g m ³     c p = 880 J ( k g   ·   K ) α   = k ρ c p =   6,92   x 10 - 7 m 2 s

Primeiro, devemos calcular o número de Biot:

B i =   h R k =   10 W m ²   ·   K 0,25   m     1,4   W m . K ≅   1 , 7 9  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 para o cilindro. Como podemos ver na tabela, não temos o valor de B i = 1,79 tabelado. Devemos, então, fazer uma interpolação entre os valores de B i = 1,0 e B i = 2,0 :

B i   = 1,0 →   ζ 1 = 1,2558     C 1 =   1,2071

B i   = 2,0 →   ζ 1 = 1,5994       C 1 = 1,3384

Portanto, interpolando:

B i   = 1,79 →   ζ 1 = 1,5272     C 1 = 1 , 3108

Vamos calcular o número de Fourier:

F o = α t L ² =   6,92   x 10 - 7 m 2 s ( 21600   s ) ( 0,25   m ) ² = 0,2392

E agora podemos finalmente calcular a temperatura adimensional no centro do cilindro:

ϴ 0 * = 1,3108 exp ⁡ - 1,5994 2 0,2392 = 0,7109

Agora podemos calcular a temperatura do centro:

T 0 - 500   ° C 20   ° C - 500   ° C =   0,7109 → T 0 = 158,77   ° C

Passo 3

Pra finalizar, vamos resolver a letra (b) agora.

Segundo o enunciado, temos as seguintes propriedades:

k   =   0,789     W m . K ρ = 1495   k g m ³     c p = 880 J ( k g   ·   K ) α   = k ρ c p =   6,0   x 10 - 7 m 2 s

Primeiro, devemos calcular o número de Biot:

B i =   h R k =   10 W m ²   ·   K 0,25   m   0,789     W m . K ≅   3 , 17  

Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de   C 1 e ζ 1 para o cilindro. Como podemos ver na tabela, não temos o valor de B i = 3,17 tabelado. Devemos, então, fazer uma interpolação entre os valores de B i = 3 , 0 e B i = 4 , 0 :

B i   = 3 , 0 →   ζ 1 = 1,7887     C 1 =   1,4191

B i   = 4 , 0 →   ζ 1 = 1,9081       C 1 =   1,4698

Portanto, interpolando:

B i   = 3,17 →   ζ 1 = 1 , 8090     C 1 = 1 , 4277

Vamos calcular o número de Fourier:

F o = α t L ² =   6,0   x 10 - 7 m 2 s ( 21600   s ) ( 0,25   m ) ² = 0,2 074

E agora podemos finalmente calcular a temperatura adimensional no centro do cilindro:

ϴ 0 * = 1,4277 exp ⁡ - 1,8090 2 0,2074 = 0,7 242

Agora podemos calcular a temperatura do centro:

T 0 - 500   ° C 20   ° C - 500   ° C =   0,7242 → T 0 = 152,38   ° C

Fechou? ;)

Resposta

(a) A temperatura no eixo central da viga após um tempo de exposição de 6 h é T 0 = 158,77   ° C .

(b) A temperatura no eixo central da viga após um tempo de exposição de 6 h é T 0 = 152,38   ° C .

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