Um tubo redondo e poroso, com D = 60   m m , transporta água. A velocidade de entrada é uniforme com V 1 = 7,0   m / s . A água vaza para fora do tubo através das paredes porosas, radialmente e com simetria em relação ao eixo do tubo. A distribuição de velocidades da água vazando ao longo do tubo é dada por

v = V 0 1 - x L 2

em que V 0 = 0,03   m / s e L = 0,950   m . Calcule a vazão mássica dentro do tubo em x = L .

Passo 1

Dados fornecidos:

O diâmetro do tubo redondo poroso é D = 60   m m .

A velocidade na entrada é V 1 = 7   m / s .

A velocidade inicial é  V 0 = 0,03   m / s .

O comprimento é L = 0,950   m .

Um esboço de um volume de controle pode ser feiro da seguinte maneira:

Passo 2

Para encontrar a vazão mássica dentro do tubo, podemos aplicando equação da conservação de massa.

∂ ∂ t ∫ C V   ρ d ∀ + ∫ C S   ρ V → ⋅ d A → = 0

Podemos considerar o caso geral de fluxo constante através de um volume de controle fixo. Por definição, nenhuma propriedade de fluido varia com o tempo em um fluxo constante. Consequentemente, o primeiro termo da equação acima é zero para fluxo constante.

Assim, a declaração de conservação de massa se reduz a:

∫ C S   ρ V → ⋅ d A → = 0

Passo 3

A relação acima pode ser expressa como:

∫ A 1   ρ V → ⋅ d A → + ∫ A 2   ρ V → ⋅ d A → + ∫ A   ρ V → ⋅ d A → = 0

- ∫ A 1   ρ V 1 A 1 + ∫ A 2   ρ V 2 A 2 + ∫ A   ρ V d A = 0

- ρ V 1 π D 2 4 + m 2 ˙ + ∫ 0 L ρ V 0 1 - x L 2 2 π R d x = 0

- ρ V 1 π D 2 4 + m 2 ˙ + 2 π ρ R V 0 ∫ 0 L 1 - x L 2 d x = 0

- ρ V 1 π D 2 4 + m 2 ˙ + 2 π ρ R V 0 x - x 3 3 L 2 0 L = 0

- ρ V 1 π D 2 4 + m 2 ˙ + 2 π ρ R V 0 L - L 3 3 L 2 = 0

- ρ V 1 π D 2 4 + m 2 ˙ + 2 π ρ R V 0 2 L 3 = 0

- ρ V 1 π D 2 4 + m 2 ˙ + 4 3 π ρ R V 0 L = 0

m 2 ˙ = ρ V 1 π D 2 4 - 4 3 π ρ R V 0 L

Passo 4

Para calcular a vazão mássica dentro do tubo em x = L , basta substituirmos os dado fornecidos no enunciado na equação acima. Aqui a densidade da água é ρ = 1000   k g / m 3 .

Agora, substituindo os valores conhecidos na equação, obtemos:

m 2 ˙ = 1000 × 7 × π 0,06 2 4 - 4 π 3 × 1000 × 0,03 × 0,03 × 0,95

m 2 ˙ = 19,792 - 3,581

m 2 ˙ = 16,2   k g / s

Portanto, a vazão mássica dentro do tubo é  16,2   k g / s .

Resposta

m ˙ = 16,2   k g / s

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