Enunciado

Para o funil do Problema 4.55 , determine o diâmetro d requerido se o funil é drenado em t = 1   m i n para uma profundidade inicial y 0 = 30   c m . Trace o gráfico do diâmetro d requerido para drenar o funil em 1   m i n em função da profundidade y 0 , para y 0 variando de 2,5   c m para 60   c m .

Passo 1

Podemos fazer um diagrama do funil cônico da seguinte maneira:

Podemos fazer as seguintes considerações:

Fluido incompressível.

Negligenciar a densidade do ar.

Fluxo uniforme.

Passo 2

Podemos começar a resolver a questão aplicando a equação de continuidade. Assim temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Pelas considerações feitas, e tratando o funil como o CV, a equação básica se torna seguinte maneira:

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ A f u n i l d y + ρ V A o r i f í c i o = 0

Passo 3

Pelo diagrama, podemos dizer que:

tan ⁡ θ = D / 2 y  

D = 2 y tan ⁡ θ

Aqui,  y é a altura do líquido θ  é o ângulo do semi-cone. A área de do funil pode ser escrita da seguinte forma:

A f u n i l = π D 2 4

Substituindo D , nós temos:

A f u n i l = π 2 y tan ⁡ θ 2 4

A f u n i l = π y 2 tan 2 ⁡ θ

Temos também que a área do orifício é:

A o r i f í c i o = π d 2 4

Passo 4

Assim, podemos substituir a área do funil e do orifício na equação da continuidade. Dessa forma teremos:

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ A f u n i l d y + ρ V A o r i f í c i o = 0

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ π y 2 tan 2 ⁡ θ d y + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ ∂ ∂ t ∫ 0 y y 2 d y + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ ∂ ∂ t y 3 3 0 y + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ ∂ ∂ t y 3 3 + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ y 2 d y d t + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ y 2 d y d t = - ρ V π d 2 4

y 2 d y d t = - V d 2 4 tan 2 ⁡ θ

Substituindo V por 2 g y dito no enunciado, temos:

y 2 d y d t = - d 2 2 g y 4 tan 2 ⁡ θ

y 2 y   d y d t = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ

y 3 2   d y d t = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ

Passo 5

Podemos separa as variáveis e integras dos dois lados. Assim temos:

y 3 2   d y = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ d t

∫ y 0 0 y 3 2   d y = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ ∫ 0 t d t

2 y 5 2 5 y 0 0 = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ t

- 2 y 0 5 2 5 = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ t

d 2 = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 t 2 g

d = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 t 2 g

Portanto, a expressão para o diâmetro da abertura do funil é:

d = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 t 2 g

Passo 6

Para determine o diâmetro d requerido para drenar o funil em t = 1   m i n para uma profundidade inicial y 0 = 30   c m , basta substituir os valores na equação encontrada no passo anterior. Substituto,   θ = 30 ° , g = 9,81   m / s 2 , y 0 = 0,3   m e t = 60   s na equação temos:

d = 8 0,3   m 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 × 60 × 2 × 9,81   m / s 2

d = 0,0 0995   m

d = 9,95   m m

Passo 7

Para traçar o gráfico do diâmetro d requerido para drenar o funil em 1   m i n em função da profundidade y 0 , para y 0 variando de 2,5   c m para 60   c m , podemos substituir,  θ = 30 ° , g = 9,81   m / s 2 e t = 60   s na equação.

d = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 t 2 g

d = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 × 60 × 2 × 9,81   m / s 2

d = 0,04481 y 0 5 4

Usando a equação acima variando a profundidade, podemos encontrar os diâmetros requeridos para drenar o funil em 1 min.

O gráfico de Diâmetro pela Profundidade foi plotado com uso do software Microsoft Excel com base na tabela acima.

Resposta

d = 9,95   m m

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