Para as condições fornecidas no Problema 7.80, quais são a velocidade terminal e a altura do tanque se óleo de motor a 300   K for usado como refrigerante no lugar da água?

Passo 1

Essa questão faz referência ao Problema 7.80 onde temos o diâmetro das esferas de cobre que estão em banho de óleo. E temos também as temperaturas inicial e final.

A partir disso queremos encontrar a velocidade terminal no banho e a altura do banho de óleo.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos assumir que a esfera desce na velocidade terminal e a temperatura da superfície é uniforme, mas variável com o tempo. Além disso, as propriedades do cobre ( T = 350   K ) e do óleo ( T ∞ = 30 0   K ) foram retiradas da Tabela A.1.

Um balanço de forças realizado na esfera gera:

π D 2 2 C D ρ V 2 2 = ( ρ c u - ρ ) g   π D 3 6

Substituindo os valores retirados da Tabela A.1, temos:

C D V 2 = 4 D 3 ρ c u - ρ ρ g = 4 × 0,02 m 3 × 8933 - 884 884 × 9,8 m / s 2 = 2 , 38 m 2 / s 2    

É necessária uma solução iterativa, na qual o C D é obtido da Figura 7.9 com,

  R e D   = V D ν   = 0,02 m × V 0,486 884   m 2 / s   = 36,4   V   ( m / s )  

A convergência é alcançada com,

V   ≈   1 , 1   m   /   s    

Para essa velocidade temos que R e D   =   40 e C D   ≈   1,97 .

Passo 3

Usando a correlação de Whitaker:

N u D - = 2 + 0,4 40 + 0,06 × 40 2 3 × 6400 0,4 × 0,486 0,0531 1 4 = 189,2

Então,

h D - = N u D - k D = 189,2 × 0 , 145 0,02 = 1 357   W / m 2 . K

Para determinar a aplicabilidade do método de capacitância concentrada, vamos analisar o número de Biot.

B i = h D - r o 3 k c u = 1 357 W m 2 . K 0,01 m 3 398 W m . K = 0 , 0 11

Portanto, o método de capacitância concentrada pode ser usado.

Passo 4

Assim, temos que:

t f = ρ   c c u π D 3 6   h D -   π D 2 ln ⁡ T i - T ∞ T f - T ∞

Substituindo os valores encontramos,

t f = 8933 k g m 3 × 387 J k g . K   1357 W m 2 . K 0,02   m 6 ln ⁡ 60 20 = 9,33   s

Então, a altura do tanque requerida é:

H = t f . V = 9,22   s × 1 , 1 m / s = 1 0,3 m

Resposta

V   ≈   1,1   m   /   s    

H = 10,3 m

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