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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 124

Usando as Equações 12-4, 12-13 e 12-14, verifique isso para o escoamento permanente dos gases ideais d T 0 T = d A A + ( 1 - M a 2 ) d V V . Explique o efeito do aquecimento e as variações de área sobre a velocidade de um gás ideal no escoamento permanente (a) e para escoamento subsônico e (b) para escoamento supersônico.

Passo 1

Fala ai! Pra resolver essa questão primeiro vamos olhar as equações que ele diz no enunciado pra gente ver como vamos fazer! Temos:

V 2 2 = c p T 0 - T       ( 1 )

d ρ ρ + d A A + d V V = 0       ( 2 )

d P ρ + V   d V = 0       ( 3 )

Olhando pra última a gente vê que vamos precisar diferenciar a primeira!

V   d V = c p d T 0 - d T       ( 4 )

Vamos ver então que mais a gente vai ter que fazer. Já aviso logo que essa questão vai ser meio grandinha, beleza? Mas fica tranquilo, prestando atenção direitinho a gente vê que dá tudo certo!

Passo 2

Outras duas relações que vamos precisar usar vão ser as relações do gás ideal e da velocidade do som:

P = ρ R T       ( 5 )

c 2 = k R T       ( 6 )

Começando pela relação do gás ideal, primeiro vamos diferenciar ela:

d P P = d ρ ρ + d T T = 0       ( 7 )

Juntando essa com a equação 2:

d P P - d T T + d A A + d V V = 0       ( 8 )

Agora manipulando um pouco a relação da velocidade do som temos que:

c 2 = k R T = k - 1 c p T = k P ρ       ( 9 )

Combinando essa com a equação 3:

d P P = - k C 2 V   d V = - V 2 C 2 d V V = - k M a ² d V V       ( 10 )

E combinando também com a equação 4:

  d T = d T 0 - V d V c p  

  d T T = d T 0 T - V 2 c p T d V V = d T 0 T - V 2 C ² / ( k - 1 ) d V V  

  d T T = d T 0 T - k - 1 M a ² d V V         ( 11 )

Passo 3

Finalmente, agora vamos combinar as equações 8, 10 e 11:

- k - 1 M a 2 d V V - d T 0 T + k - 1 M a 2 d V V + d A A + d V V = 0  

d T 0 T = d A A + - k M a 2 + k - 1 M a 2 + 1 d V V = 0

d T 0 T = d A A + ( 1 - M a 2 ) d V V

Que é a equação que a gente queria demonstrar!

Passo 4

Agora vamos falar sobre o efeito do aquecimento e as variações de área sobre a velocidade de um gás ideal no escoamento permanente, que a questão perguntou no enunciado:

  1. Em um escoamento subsônico ( M a < 1 ) , o fluido acelera se a área diminui ( d A < 0 ) ou então se o fluido é aquecido ( d T 0 > 0 ) . Em contrapartida o fluido desacelera se a área aumenta ( d A > 0 ) ou o fluido é resfriado ( d T 0 < 0 ) .
  2. Em um escoamento supersônico ( M a > 1 ) , o fluido desacelera se a área diminui ( d A < 0 ) ou então se o fluido é aquecido ( d T 0 > 0 ) . Em contrapartida o fluido acelera se a área aumenta ( d A > 0 ) ou o fluido é resfriado ( d T 0 < 0 ) .

Resposta

d T 0 T = d A A + ( 1 - M a 2 ) d V V

  1. Em um escoamento subsônico ( M a < 1 ) , o fluido acelera se a área diminui ( d A < 0 ) ou então se o fluido é aquecido ( d T 0 > 0 ) . Em contrapartida o fluido desacelera se a área aumenta ( d A > 0 ) ou o fluido é resfriado ( d T 0 < 0 ) .
  2. Em um escoamento supersônico ( M a > 1 ) , o fluido desacelera se a área diminui ( d A < 0 ) ou então se o fluido é aquecido ( d T 0 > 0 ) . Em contrapartida o fluido acelera se a área aumenta ( d A > 0 ) ou o fluido é resfriado ( d T 0 < 0 ) .
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