Enunciado

O uso de um sistema de armazenamento de energia térmica composto por um leito de rochas foi cogitado para aplicações envolvendo energia solar e em processos industriais. Um sistema em particular envolve um recipiente cilíndrico, com 2 m de comprimento por 1 m de diâmetro, no interior do qual rochas aproximadamente esféricas, com 0,03 m de diâmetro, encontram-se empacotadas. O leito possui uma fração de vazios de 0,42; e a massa específica e o calor específico das rochas são ρ = 2300 kg/m3 e cp = 879 J/(kg · K), respectivamente. Considere condições nas quais ar atmosférico é fornecido ao leito de rochas a uma vazão mássica constante de 1 kg/s e a uma temperatura de 90°C. O ar escoa na direção axial através do recipiente. Se as rochas encontram-se a uma temperatura de 25°C, qual é a taxa de transferência de calor total do ar para o leito de rochas?

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! Nosso enunciado quer saber a taxa de transferência de calor total para o leito de rochas, show?

Podemos encontrar o que ele pede da seguinte forma:

q = h _   .   A p ,   t   .   Δ T l m

Precisamos encontrar todos os termos da equação… Mas antes disso, vamos visitar a tabela A-4, do apêndice do livro, para pegar mais algumas informações:

ρ a r = 0,963   k g / m ³ c p ,   a r = 1010   J / k g . K k a r = 0,031   W / m . K

v = 22,35   .   10 - 6   m ² / s P r = 0,70

Vamos lá então!

Passo 2

Vamos começar encontrando a A p ,   t :

A p ,   t = V r   .   π   .   D r 2 π   .   D r 3 / 6

A p ,   t = 1 - ε   .   π   .   D b 2 4   .   L b   .   6 D r

A p ,   t = 1 - 0,42   .   π   .   1 ² 4   .   2   .   6 0,03

A p ,   t = 182,2   m ²

Agora para encontrar o h _ , precisamos do número de Reynolds:

R e = V   .   D r v

Ops! Não temos a velocidade, precisamos dela:

V = m a ρ . π . D b 2 / 4

V = 1 ( 0,963   .   π   .   1 ² ) / 4

V = 1,32   m / s

Agora sim, voltando ao Reynolds:

R e = 1,32   .   0,03 22,35   .   10 - 6

R e = 1772

A equação para encontrar o h _ será:

h _ = 2,06 ε   .   ρ   .   V   .   c p   .   R e D - 0,575   .   P r - 2 / 3

h _ = 2,06 ε   .   0,963   .   1,32   .   1010   .   1772 - 0,575   .   ( 70 ) - 2 / 3

h _ = 108   W / m ² . K

Passo 3

Só tá faltando esse Δ T l m , vamos nessa!

q = m a   .   c p   .   T a ,   e n t r a d a - T a ,   s a í d a = m a   .   c p   .   T a ,   e n t r a d a - T s - T a ,   s a í d a - T s

q = h _   .   A p ,   t   .   T a ,   e n t r a d a - T s - T a ,   s a í d a - T s l n T a ,   e n t r a d a - T s / T a ,   s a í d a - T s = h _   .   A p ,   t   .   Δ T l m

Então temos que:

Δ T l m = T a ,   e n t r a d a - T s - T a ,   s a í d a - T s l n T a ,   e n t r a d a - T s / T a ,   s a í d a - T s

Podemos então fazer as seguintes considerações:

T a ,   s a í d a - T s T a ,   e n t r a d a - T s = e x p - h _   .   A p ,   t m a   .   c p

T a ,   s a í d a - T s T a ,   e n t r a d a - T s = e x p - 108   .   182,2 1   .   1010

T a ,   s a í d a - T s T a ,   e n t r a d a - T s = 3,46   .   10 - 9

E temos que:

T a ,   s a í d a = 25 + ( 65   .   3,46 . 10 - 9 )

T a ,   s a í d a ≈ 25 ° C

Show! Teremos então, que:

Δ T l m = 65 - 2,25   .   10 - 7 l n 65 / 2,25   .   10 - 7

Δ T l m = 3,34 ° C

E por fim, temos:

q = 108   .   182,2   .   3,34

q = 65,7   k W

Uhull! Deu certo! Conseguimos!

Resposta

q = 65,7   k W

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