A vane turns a water jet through an angle α, as shown in

Fig. P3.87. Neglect friction on the vane walls. (a) What is

the angle α for the support force to be in pure compression?

(b) Calculate this compression force if the water velocity is

22 ft/s and the jet cross section is 4 in2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) desenhando o diagrama de corpo livre de todas as forças agindo no volume de controle

Passo 2

Escreva uma expressão para a força de direção x que atua no volume de controle.

F x = - m ˙ V c o s ⁡ α - ( - m ˙ V ) F x = m ˙ V ( 1 - c o s ⁡ α ) ( → )

Portanto, quando 0 < α < 90 então F x é positivo, significa que F x agirá na direção positiva de x Escreva uma expressão para a força do componente y que atua no volume de controle.

F y = m ˙ V s i n ⁡ α ( ↑ )

A força igual e oposta atuará em x e y na direção, respectivamente, na palheta pela terceira lei do movimento de Newton.

F x = m ˙ V ( 1 - c o s ⁡ α ) ( ← ) F y = m ˙ V s i n ⁡ α ( ↓ )

Passo 3

Agora aplique a equação de equilíbrio de força para a palheta na direção x .

m ˙ V ( 1 - c o s ⁡ α ) = F s i n ⁡ 25 ∘ ρ A V 2 ( 1 - c o s ⁡ α ) = F s i n ⁡ 25 ∘ 62.4 × 4 12 × 12 × 22 2 ( 1 - c o s ⁡ α ) = F s i n ⁡ 25 ∘ 1985.085381 ( 1 - c o s ⁡ α ) = F           . . . ( 1 )

Aplique a equação de equilíbrio de força para a palheta na direção y .

m ˙ V s i n ⁡ α = F c o s ⁡ 25 ∘ ρ A V 2 s i n ⁡ α = F c o s ⁡ 25 ∘ 62.4 × 4 12 × 12 × 22 2 × s i n ⁡ α = F c o s ⁡ 25 ∘ 925.6605155 s i n ⁡ α = F           . . . ( 2 )

Passo 4

Substitua o valor de F na equação (1),

1985.085381 ( 1 - c o s ⁡ α ) = F 1985.085381 ( 1 - c o s ⁡ α ) = 925.6605155 s i n ⁡ α 1 - c o s ⁡ α s i n ⁡ α = 0.466307658 2 s i n 2 ⁡ α 2 2 s i n ⁡ α 2 c o s ⁡ α 2 = 0.466307658 t a n ⁡ α 2 = 0.466307658 α 2 = 25 α = 50 ∘

Portanto, o ângulo α para a força de suporte estar em compressão pura será 50 ∘ .

Passo 5

b) Calcular a força de compressão a F partir da equação (2),

925.6605155 s i n ⁡ α = F F = 925.6605155 × s i n ⁡ 50 ∘ F = 709.0970941 l b f

Portanto, a força de compressão F será 709.0970941 l b f .

Resposta

a) α = 50 ∘

b) F = 709.0970941 l b f

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