Enunciado

O vapor de água em um sistema de aquecimento flui através de tubos cujo diâmetro externo é de 5 cm e cujas paredes são mantidas a uma temperatura de 130°C. Aletas circulares de liga de alumínio 2024-T6 k = 186 W m   ·   K de diâmetro externo de 6 cm e espessura constante de 1 mm são fixadas ao tubo. O espaço entre as aletas é de 3 mm e, portanto, existem 250 aletas por metro de comprimento do tubo. O calor é transferido para o ar circundante a T ∞ = 25     , com um coeficiente de transferência de calor de 40 W m 2   ·   K . Determine o aumento da transferência de calor a partir do tubo por metro de seu comprimento, como resultado da adição de aletas.

Passo 1

Boom galera, nós precisamos aqui da diferença entre a taxa de transferência de calor da aleta e da superfície sem aletas:

∆ Q a u m e n t o u = Q   a l e t a ˙ - Q   s e m   a l e t a ˙

Começando pela taxa de transferência de calor da aleta:

Q   a l e t a ˙ = ɳ a l e t a h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Temos que:

h = 40 W m 2   ·   K

T b = 130 ° C

T ∞ = 25 ° C

Ainda não temos a área nem a eficiência, certo?

Começando pela área:

A a l e t a = 2 π ( r 2 2 - r 1 2 ) + 2 π r 2 t

Como estamos falando da aleta, o raio 2 será o raio maior e o raio 1 será o raio do orifício, tudo bem até aqui??

Agora que sabemos a fórmula e os dados é só substituir:

A a l e t a = 2 π 0,03 2 - 0,025 2 m 2 + 2 π 0,03   m 0,0 01   m = 0,0 0 1 915   m 2

Agora só falta a eficiência, mas ela vai ter um passo só dela !!

Passo 2

E para achar a eficiência vamos usar o gráfico que foi dado no livro:

Vamos precisar achar a razão r 2 c r 1 e ξ .

Começando pela razão e lembrando que:

r 2 c = r 2 + t 2

Então:

r 2 c r 1 = r 2 + t 2 r 1

Substituindo:

r 2 c r 1 = 0,03   m + 0,001   m 2 0,0 25   c m = 1,22

E quanto ao ξ :

ξ = L c h k t

Se:

L c = L + t 2 = D 2 - D 1 2 + t 2

Então:

ξ = D 2 - D 1 2 + t 2 h k t

Em função do raio:

ξ = 2 r 2 - 2 r 1 2 + t 2 h k t = r 2 - r 1 + t 2 h k t

Substituindo:

ξ = 0,03 - 0,025   c m + 0,001   m 2 4 0 W m 2   ·   K 1 8 6 W m   ·   K ( 0,0 01   m )

ξ = 0,0806

Analisando o gráfico para ξ = 0,0806 e r 2 c r 1 = 1 , 22 , a eficiência será próxima de 0,97.

Então:

ɳ a l e t a = 0,97

Passo 3

Agora temos tudo o que precisamos nós vamos lançar nossos dados na fórmula do passo 1:

Q   a l e t a ˙ = 0,97 × 40 W m 2   ·   K × 0,0 0 1915   m 2 ( 130 ° C - 25 ° C )

Como a variação em graus Celsius e em kelvin é a mesma:

Q   a l e t a ˙ = 7,814   W

Legal, achamos a troca de calor que ocorre a partir de uma aleta, mas nós sabemos que na verdade existem 250 aletas iguais a esta.

Então na verdade a troca de calor será dada por:

Q   250   a l e t a s ˙ = 250 × Q   a l e t a ˙

Q   250   a l e t a s ˙ = 250 × 7,814   W = 1953,42   W

Passo 4

Agora o que nós precisamos é achar qual a troca de calor para a superfície sem aletas.

E para isso nós vamos usar:

Q   s e m   a l e t a ˙ = h A b ( T b - T ∞ )

A área aqui será calculada em função do raio do tubo, uma vez que estamos desconsiderando a aleta:

A b = 2 π r 1 t

Substituindo:

A b = 2 π 0,025   m 0,001   m = 0,0001571   m 2

Achando o calor:

Q   s e m   a l e t a ˙ = 40 W m 2   ·   K 0,0001571   m 2 130 ° C - 25 ° C = 0,65982   W

Este é o valor para uma superfície sem uma aleta, só que nós não temos uma aleta, certo?

Q   s e m   250   a l e t a ˙ = 250 × Q   s e m   a l e t a ˙

Q   s e m   250   a l e t a ˙ = 250 × 0,65982   W = 164,955   W

Agora temos tudo o que precisamos para achar a variação:

∆ Q a u m e n t o u = 1953,42   W - 164,955   W

∆ Q a u m e n t o u = 1788,465   W

E fim !!

Resposta

1788,465   W

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