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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 64

A frequência natural ω de vibração de uma massa M presa a uma haste, como na Figura P5.64, depende somente de M, da rigidez EI e do comprimento L da haste. Testes feitos com uma massa de 2 kg presa a uma haste de aço carbono 1040 com 12 mm de diâmetro e 40 cm de comprimento revelam uma frequência natural de 0,9 Hz. Use esses dados para prever a frequência natural de uma massa de 1 kg presa a uma haste de liga de alumínio 2024 do mesmo tamanho.

Passo 1

Vamos utilizar o Teorema Pi de Buckingham para encontrar uma expressão que relacione as variáveis dadas:

ω = g ( M , E I , L )

As dimensões dos parâmetros neste caso são:

ω = 1 T ;

M = M ;

E I = M L 3 T 2 ;

L = L .

Logo, nós temos quatro parâmetros (n=4) e três dimensões ( M L T ) (j=3), ou seja, teremos ( n - j = 4 - 3 = 1 ) apenas um pi grupo, que vai ser:

Π 1 = ω M a E I b L c = 1 T M a M L 3 T 2 b L c = M 0 L 0 T 0

M : a + b = 0

L :   3 b + c = 0

T :   - 1 - 2 b = 0

Resolvendo o sistema linear temos:

a = 1 2

b = - 1 2

c = 3 2

Logo:

Π 1 = ω M 1 2 E I - 1 2 L 3 2 = ω M L 3 1 2 ( E I ) 1 2   = c o n s t a n t e

Agora podemos encontrar o valor da constante utilizando os dados para o aço ( E = 2,03 x 10 11   P a ):

c o n s t a n t e = 0,9 * 2 * 0,4 3 1 2 2,03 x 10 11 * π 4 * 0,006 4 1 2 = 0,0224

Passo 2

Agora que encontramos o valor da constante conseguiremos calcular a frequência de uma massa de alumínio utilizando a mesma equação ( E = 7,4 x 10 10 ):

ω M L 3 1 2 E I 1 2   = 0,0224

ω 1 * 0,4 3 1 2 7,4 x 10 10 * π 4 * 0,006 4 1 2 = 0,0224

ω = 0,768   H z

Resposta

ω = 0,768   H z

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