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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 47

A viscosidade de alguns fluidos denominados fluidos magnetoreológicos (MR), muda quando é aplicado um campo magnético. Tais fluidos contem micropartículas magnetizáveis em suspensão num líquido transportador apropriado e são adequados para usar em embreagens hidráulicas controláveis. Veja a Figura P2-46. Os fluidos MR possuem viscosidades muito maiores do que os fluidos ER, e, frequentemente, exibem redutor de tensão no qual a viscosidade do fluido diminui à medida que a força de cisalhamento aumenta. Tal comportamento é também conhecido como comportamento pseudoplástico e é representado com sucesso pelo modelo caracteristico de Herschel-Bulkley expresso pela equação τ = τ y + K ⋅ d u d y m . Nessa expressão, τ é a tensão de cisalhamento aplicada, τ y é tensão de escoamento, K é o índice de consistência e m é o indice de potencia. Para um fluido Herschel-Bulkley com τ y =   900   P a , K = 58   P a ⋅ s m e m = 0,82 , (a) determine uma relação para o torque transmitido por uma embreagem MR com N discos acoplados ao eixo de entrada quando o eixo gira com velocidade angular ω enquanto o eixo de saída permanece estacionário e (b) calcule o torque transmitido por uma embreagem desse tipo com N = 11 discos para R 1 = 50   m m , R 2 = 200   m m , n ˙   =   2400   r p m e h = 1,2   m m .

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule primeiro o torque Τ que os discos acoplados ao eixo de entrada transmitem para os discos acoplados ao recipiente. Ou seja, os discos do eixo de entrada giram e fazem os discos do eixo de saída girar. No entanto, esses dois tipos de disco não estão diretamente ligados! Eles estão separados por um fluido viscoso.

Isso quer dizer que o movimento dos discos de entrada é passado para os discos de saída através do movimento do fluido! Em outras palavras, os discos de entrada movem o fluido e esse fluido move os discos de saída. O fluido move o disco através da força F de cisalhamento. O primeiro passo para calcular essa força é calcular o gradiente de velocidade d u d y do fluido. A figura abaixo mostra como a velocidade do fluido u varia na direção dos eixos y .

r é a coordenada radial dos postos do disco. r que varia do raio R 1 até o raio R 2 . V é a velocidade de cada ponto dos discos cinzas acoplados ao eixo de entrada. ω é a velocidade angular dos discos acoplados ao eixo de entrada. Podemos considerar que a velocidade u do fluido varia linearmente de 0   m / s (velocidade do disco preto) até V (velocidade dos pontos do disco cinza). Dessa forma, d u d y pode ser calculado como:

d u d y = V - 0 h       ⟹       d u d y = V h       ⟹       d u d y = ω ⋅ r h

Passo 2

Com essa informação e com a fórmula do enunciado, podemos calcular a tensão de cisalhamento τ que atua sobre o disco preto do eixo de saída.

τ = τ y + K ⋅ d u d y m       ⟹       τ = τ y + K ⋅ ω ⋅ r h m       ⟹       τ = τ y + K ⋅ ω m ⋅ r m h m

A figura abaixo mostra que essa tensão τ é a tensão aplicada a cada ponto dos discos do eixo de saída.

Passo 3

Agora, nós podemos calcular o torque Τ 1 aplicado sobre uma face do disco preto. O torque Τ 1 é a integral dos torques d Τ 1 que são aplicados em cada pedacinho do disco.

Τ 1 = ∫ d Τ 1

O torque de cada pedacinho é igual à força cisalhante aplicada a cada pedacinho d F vezes o raio r onde ela está sendo aplicada.

d Τ 1 = r ⋅ d F

A força d F é igual à tensão de cisalhamento τ multiplicada pela área d A de cada pedacinho do disco.

d F = τ ⋅ d A       ⟹       d F = τ y + K ⋅ ω m ⋅ r m h m ⋅ 2 π ⋅ r ⋅ d r

d F = τ y ⋅ 2 π ⋅ r + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ r m + 1 h m ⋅ d r

A figura abaixo ilustra as variáveis Τ 1 , d Τ 1 , d F e d A .

Substituindo d F na fórmula de d Τ 1 e d Τ 1 na fórmula de Τ 1 , encontramos:

Τ 1 = ∫ d Τ 1       ⟹       Τ 1 = ∫ r ⋅ d F       ⟹       Τ 1 = ∫ R 1 R 2 r ⋅ τ y ⋅ 2 π ⋅ r + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ r m + 1 h m ⋅ d r

Τ 1 = ∫ R 1 R 2 τ y ⋅ 2 π ⋅ r 2 + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ r m + 2 h m ⋅ d r

Τ 1 = τ y ⋅ 2 π ⋅ r 3 3 + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ r m + 3 m + 3 ⋅ h m R 1 R 2

Τ 1 = τ y ⋅ 2 π ⋅ R 2 3 - R 1 3 3 + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ R 2 m + 3 - R 1 m + 3 m + 3 ⋅ h m

Passo 4

Τ 1 é o torque aplicada a apenas uma face do disco. No tentanto, cada disco tem 2 faces. Além disso, exitem N discos! Isso quer dizer que o torque total Τ é igual ao torque Τ 1 multiplicado pela quantidade total de faces 2 ⋅ N .

Τ = Τ 1 ⋅ 2 ⋅ N       ⟹       Τ = τ y ⋅ 2 π ⋅ R 2 3 - R 1 3 3 + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ R 2 m + 3 - R 1 m + 3 m + 3 ⋅ h m ⋅ 2 ⋅ N

Passo 5

Em segundo lugar, o exercício pede para a gente calcular o torque Τ transmitido por uma embreagem desse tipo com N = 11 discos para R 1 = 50   m m , R 2 = 200   m m , n ˙   =   2400   r p m e h = 1,2   m m . Mas antes de calcular Τ , precisamos calcular ω a partir de n ˙ pela fórmula abaixo.

ω = 2 π 60 ⋅ n ˙       ⟹       ω = 2 π 60 ⋅ 2400       ⟹       ω = 80 π   r a d s

Passo 6

Antes de usar a fórmula de Τ , temos que converter h , R 1 e R 2 de milímetro m m para metro m .

h = 1,2   m m       ⟹       h = 0,0012   m

R 1 = 50   m m       ⟹       R 1 = 0,05   m

R 2 = 200   m m       ⟹             R 2 = 0,2   m

Τ = τ y ⋅ 2 π ⋅ R 2 3 - R 1 3 3 + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ R 2 m + 3 - R 1 m + 3 m + 3 ⋅ h m ⋅ 2 ⋅ N

Τ = 900 ⋅ 2 π ⋅ 0,2 0,82 + 3 - 0,05 0,82 + 3 3 + 58 ⋅ 2 π ⋅ 80 π 0,82 ⋅ 0,2 0,82 + 3 - 0,05 0,82 + 3 0,82 + 3 ⋅ 0,0012 0,82 ⋅ 22

Τ = 103123   N ⋅ m

Resposta

a   Τ = τ y ⋅ 2 π ⋅ R 2 3 - R 1 3 3 + K ⋅ 2 π ⋅ ω m ⋅ R 2 m + 3 - R 1 m + 3 m + 3 ⋅ h m ⋅ 2 ⋅ N

b   Τ = 103123   N ⋅ m

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