Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Vamos analisar o enunciado e retirar alguns dados importantes, sabemos que sua aceleração vale:

E temos que ele possuí uma velocidade de:

Gostaríamos de descobrir a velocidade dele 2,5 segundos, antes desse momento, e 2,5 segundos depois desse momento. Como fazer isso?

Por possuir aceleração constante sabemos que ele está em um Movimento Retílineo Uniformemente Variado (MRUV), então podemos usar a fórmula:

Que a partir de uma certa velocidade (), uma aceleração () e um tempo () nos permite descobrir a velocidade final ().

o problema pede a velocidade antes, então no momento em que estamos sabemos que ele possuí uma velocidade , uma aceleração , e queremos descobrir um tempo , logo:

Então ele possuia uma velocidade de 1,6 e com uma aceleração constante de 3,2 , durante 2,5 segundos ele alcançou a velocidade de 9,6 .

Obs: Apesar de parecer estranho utilizarmos um tempo “negativo”, fazemos isso porque adotamos o momento atual como nosso , logo se estamos pensando em momentos anteriores ao momento atual estamos pensando em números negativos!

como a velocidade pedida é velocidade depois do instante em que ele possuí a velocidade com uma aceleração , podemos escrever:

A primeira coisa a descobrir é qual movimento a moto faz.

Sua aceleração é constante e diferente de zero, ele faz um Movimento Uniformemente Variado.

Pelo enunciado,

Ele diz que a moto está indo para leste, observe o desenho da rosa dos ventos abaixo. Para Leste significa, para direita.

A posição é positiva por que ele está à leste do sinal, ou seja, para direita.

A velocidade e a aceleração são positivas porque ele se move para leste, ou seja, para direita.

Nesse item, o enunciado nos deu o tempo.

Para encontrar a posição usamos a equação da posição pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado.

Agora vamos achar a velocidade.

Para encontrar a velocidade usamos a equação da velocidade pelo tempo, substituindo os valores dados no enunciado

Agora ele nos deu uma informação extra. A velocidade final.

Ficamos então com os seguintes dados do enunciado:

Desta vez, ele não nos deu nem pediu o tempo. Então vamos usar a equação de Torricelli, substituindo os valores dados no enunciado.

Para calcular o tempo entre a partida e a parada do carro, vamos dividir o movimento em dois, o primeiro de aceleração e o segundo de frenagem.

Vamos analisar o primeiro movimento e calcular o tempo para chegar do repouso até a velocidade

Agora, vamos calcular o tempo de frenagem do carro no segundo movimento

Somando o tempo dos dois movimentos, temos que o tempo total é :

Novamente, vamos dividir o movimento em dois, pois temos duas acelerações diferentes.

Para o movimento de aceleração , temos que foram e pela equação da posição conseguimos descobrir quanto o carro andou nesses

Olhando o segundo movimento, que já sabemos que foram gastos para executar o movimento; o carro estava com velocidade inicial e na posição , pela função posição:

Como o veículo saiu inicalmente da posição (posição inicial do movimento 1) e parou na posição (posição final do movimento 2), então ele percorreu .

Observe que já utilizamos a informação da primeira distância, 100m, na equação do segundo movimento. Por isso não foi preciso somar a distância do primeiro movimento com a do segundo (:

A primeira coisa a descobrir é qual tipo de movimento o caça faz.

Como a aceleração é constante e diferente de zero o caça faz um Movimento Uniformemente Variado.

Pelo enunciado podemos ver que

Temos um pequeno problema para resolver inicialmente, a unidade da velocidade final.

Como estamos trabalhando com a aceleração em as velocidades devem estar em .

Para mudar de para devemos DIVIDIR o valor da velocidade por .

Não foi dado e nem pedido o tempo, nessa letra. Vamos então usar a equação de Torricelli para achar a aceleração, substituindo os valores dados na equação.

Nessa letra ele pede o tempo que o caça atingiu aquela velocidade.

Pelos dados do problema podemos usar qualquer uma das equações que envolvem o tempo, porém é melhor usar

Porque? Como é a incógnita, devemos escolher entre uma equação de 2º grau e uma equação de 1º grau, é mais fácil resolver a equação de primeiro grau.

A partícula descreve um movimento retilíneo uniformemente variado já que a aceleração é constante, e portanto segue essa equação aqui.

Como o enunciado definiu a escala vertical do gráfico, temos que cada traço vale , assim descobrimos o valor de

O problema quer saber o valor da aceleração e por isso temos que pegar as informações do gráfico

Pelo gráfico conseguimos obter a posição no início do movimento e nos tempos e .

Para encontrarmos a aceleração vamos usar a equação da posição para dois trechos.

Para começar, vou escolher o trecho entre os tempos e .

Com isso, a equação da posição ficará:

Substituindo esses valores na equação da posição e sabendo que o intervalo de tempo entre essas duas posições vale , ficamos com:

Daqui tiramos a primeira equação.

Agora, vamos olhar para um segundo trecho afim de termos 2 equações.

Eu escolhi olhar para o trecho entre e , onde temos:

Com isso, a equação da posição vai ficar:

Substituindo os valores e lembrando que o intervalo de tempo entre essas posições vale , teremos:

Como queremos a aceleração , e não temos informação de , podemos fazer um sisteminha de equações para cortar e ficarmos só com a aceleração

Multiplicando a primeira equação por e depois fazer a

Chegamos em

A aceleração da partícula é no sentido positivo da trajetória, pois o valor encontrado é positivo.

e Queremos o tempo necessário para percorrer os , para isso devemos dividir o trajeto em dois trechos, o trecho em que há um movimento de aceleração, primeiro um quarto do caminho, e o segundo trecho em que o carro desacelera, os outros três quartos do caminho.

Vamos descobrir o tempo necessário para percorrer os iniciais, substituindo os valores que temos referente a esse trecho na equação da posição

Tendo o tempo que o carro acelera, podemos descobrir a velocidade máxima, que é a velocidade que o carro obtém ao final desse um quarto de caminho, pois a partir desse momento o carro começa a desacelerar.

Tenda a velocidade máxima, achamos também a velocidade inicia do trecho 2

Assim podemos calcular o tempo gasto no segundo trecho pela equação da posição ou pela equação da velocida, como a da velocidade é uma equação do primeiro grau, usaremos ela:

Somando o tempo do trecho 1 e do trecho 2 obtemos o tempo total

Para saber a posição que o automóvel encontra o caminhão, vamos considerar a posição inicial sendo a posição que ambos saem (o sinal) como , vamos seguir o passo a passo que aprendemos para resolver esses exercícios.

Primeiro vamos descobrir o tipo de movimento que cada um executa.

O enunciado nos mostra que o carro está acelerando com , saindo do repouso realizando um movimento retilíneo uniformemente variado. Já o caminhão, passa no sinal com velocidade constante realizando assim um movimento retilíneo uniforme.

Vamos escrever as equações agora de cada movimento

Queremos descobrir a posição que eles se encontram, mas para isso precisamos saber o instante que isso ocorre, como é um encontro podemos igualar suas posições.

Dividindo por temos

Sabendo o instante em que ocorreu o encontro, fica fácil descobrir a posição do encontro e a velocidade do automóvel, basta substituirmos na equação da posição e da velocidade.

Para descobrirmos a posição vamos substituir na equação da posição do caminhão por ser uma equação linear mais “simples”

Para sabermos a velocidade do automóvel no instante de tempo , vamos substituir esse instante de tempo na equação da velocidade que é:

Por isso temos que a velocidade nesse instante é dada por

Aqui temos dois movimentos sendo descritos pelo carro vermelho com velocidade constante ou no outro caso com .

Já o carro verde possui aceleração que queremos encontrar, descrevendo um movimento retilíneo uniformemente variado com velocidade incial que também queremos descobrir.

Para encontrar a velocidade e a aceleração do carro verde foi nos dado o ponto de encontro dos carros para essas duas velocidades possíveis do carro vermelho.

O primeiro passo é definir o movimento de cada veículo, o carro vermelho está em um movimento retilíneo uniforme, em um momento com velocidade e em outro com velocidade Enquanto o carro verde executa um movimento acelerado, já que o enunciado pede velocidade e aceleração.

Passando essas velocidades pra metros por segundo, temos:

Vamos agora escrever a equação de cada movimento com os dados que nos foi fornecido

O carro vermelho descreve um movimento uniforme:

E como pro carro vermelho a posição inicial é , temos as seguintes hipóteses.

Vamos apenas igualar a posição de encontro nas equações da posição do carro vermelho, começando pelo caso 1, onde a posição de encontro é .

Descobrimos o instante de tempo em que ocorre o encontro pro primeiro caso, vamos substituir o tempo na equação da posição do carro verde e guardar os valores.

Vamos repetir o processo pro caso fazendo que é o ponto de encontro pra segunda hipótese e daí tiraremos o tempo.

De novo substituiremos na equação da posição e temos com isso a seguinte equação.

Agora é resolver o sistema de duas equações e duas incógnita que temos.

Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e depois fizemos a primeira equação menos a segunda teremos:

Aceleração é negativa porque o caro verde move-se no sentido negativo.

Agora vamos achar , substituindo a aceleração que terminamos de encontrar em qualquer uma das equações do carro verde.

A velocidade é negativa devido ao sentido que o carro verde se movimenta. Em quilômetros por hora, teríamos: