Velocidade Instantânea

Puts, ele nos deu a equação da velocidade e pediu a aceleração... O QUE FAZEMOS AGORA? :O Isssoooo! É só lembrar que a aceleração de uma partícula é a derivada da velocidade em função do tempo! Fechou? Então temos que:

Como queremos no tempo t=3s, é só substituirmos na equação da aceleração que encontramos acima!

Show!

Agora queremos o instante (ou seja, o t) onde a aceleração será nula... Só igualarmos a equação da aceleração a 0, porque ela será nula, sacou? Bora lá:

Lindíssimo!

Agora queremos o instante da velocidade ser nula, é só fazermos o mesmo da letra b mas com a equação da velocidade! Vamo nessa:

Como podemos ver, a componente da velocidade em j vale 8 e não depende do tempo, então essa velocidade nunca será nula. Fechamosss!

Como queremos o instante onde as velocidades serão iguais é só igualarmos a equação da velocidade da partícula A com a aprtícula B! Mas não temos a da partícula A E agora?

É só derivarmos a equação do espaço, porque . Show! Vamo lá:

Igualando as duas, a gente tem:

Onde o tempo positivo dessa equação do segundo grau dá aproximadamente fechou?

Pra descobrirmos a velocidade é só susbtituirmos t=0 nas equações da velocidade! Bora lá, partícula A, temos: e partícula B temos: ! Fechamossss!

Velocidade média é dada pela fórmula

Para calcularmos devemos achar as posições nos instantes e

Podemos aplicar a equação da velocidade média

Para calcularmos a velocidade instantânea devemos achar a função velocidade e para isso vamos derivar a função posição

A velocidade instantânea no instante é dada por

Vamos substituir por para descobrirmos a velocidade nesse instante

Faremos o mesmo para

O primeiro passo é descobrir em que instante a partícula está na metade da distância entre os instantes e

No item calculamos

Assim a metade entre essas posições é

Descobrimos a posição que equivale a metade do caminho entre e , agora conseguimos descobrir em que instante isso acontece

Agora é só substituir esse valor de na função velocidade para descobrirmos qual era a velocidade naquele instante

Como a função da posição é um polinômio de grau e vamos considerar podemos prever que o gráfico crescerá infinitamente començando em

A resposta do item seria obtida fazendo a tangente da reta em vermelho

E as respostas nos demais itens seria obtida fazendo a tangente dos pontos respectivos a seus instantes ou posição

Essa é uma questão com vários itens mas não precisa entrar em desespero, tudo partirá da equação da posição e usaremos bastante as derivadas por aqui, beleza? Vem comigo que eu te mostro o passo a passo.

Para descobrir o instante em que a velocidade é zero, primeiro precisamos descobrir a equação da velocidade. Para encontrarmos a equação da velocidade é só a gente derivar a equação da posição.

Então para descobrir o tempo pra qual a velocidade é zero vamos zerar a velocidade

Ou seja, a velocidade será zero nos tempos e .

Para descobrir os instantes que a aceleração é zero, devemos achar a equação da aceleração, ela é a derivada da velocidade se liga aí:

De novo queremos o tempo quando a aceleração é zero, então faremos .

Aceleração é negativa quando

Se tratando de uma função linear não tem muito mistério, vamos substituir e analisar o que rola.

Dividindo os dois lados por , temos isolado e a relação fica:

Para tempos maiores que a aceleração é negativa.

Se liga, que inverteu-se o sinal da inequação ali em cima!Isso acontece, por que dividimos por um número negativo dos dois lado da inequação

(E sempre que multiplicarmos ou dividirmos uma inequação por um número negativo, é necessário inverter o sinal da inequação!)

Para a aceleração ser positiva

Seguindo a mesma idéia usada no item As acelerações positivas vão ocorrer para os seguintes tempos.

Ou seja, para tempo menor do que zero, a aceleração será positiva.

Para traçar o gráfico pegaremos os pontos de máximo e mínimo fazendo a derivada da função igual a zero que nesse caso, pasmem é a velocidade que já calculamos pra esse ponto.

Para , encontramos os seguintes valores de lá no passo

Voltando com esses valores de para a equação da posição temos os valores de máximo e mínimo, começando com o valor positivo.

Para o valor negativo temos:

Um outro ponto relevante é a origem e nesse caso podemos substituir .

Podemos então plotar o gráfico com esse comportamento.

Para fazer o gráfico de vamos analisar a equação da velocidade, que é um polinômio de segundo grau

Calculamos que essa parábola corta o eixo nos pontos , onde avaliamos qual era o tempo de .

Para encontrar o ponto de máximo, basta derivar a equação e igualar a zero. Mas se liga a gente já fez isso, lembra que a derivada da velocidade é a aceleração?

A gente também avaliou o ponto onde e concluímos que é quando , agora vamos pegar esse tempo e substituir na eq. da velocidade.

Agora é só plotar o gráfico e correr pro abraço:

A equação da aceleração a gente calculou e é essa aqui:

Descreve uma reta com inclinação negativa. Nós também avaliamos que a aceleração tem valor na origem para e portanto temos o seguinte gráfico.

Parar momentaneamente é o mesmo que dizer que a velocidade instantânea é igual a zero. Assim, para achar a distância que ele tem velocidade zero, devemos achar o instante que a velocidade é zero.

Então, tendo esse instante , substituímos na função posição para descobrir a posição correspondente àquele momento.

Vamos achar o instante , onde a velocidade é zero.

Como a velocidade é a variação da posição, basta derivar essa expressão da posição:

Para derivar esse cara, temos que usar a regra do produto entre o termo “” e o termo “”, lembrando que o “” é uma constante multiplicando e por isso ela fica igualzinha:

As derivadas serão as seguintes...

A derivada de é:

Já a derivada de é a derivada de uma exponencial, ou seja, a sua derivada é ela mesma. Não podemos confundir com a derivada de um polinômio , por exemplo.

Mas, além disso, precisamos usar uma regra da cadeia com o expoente, então temos:

Substituindo essas duas derivadas na nossa expressão, temos:

Beleza, achamos uma expressão para a velocidade em função do tempo.

Agora, vamos achar o instante onde essa velocidade zera:

Cortando o “” e o “”, temos:

Achamos o instante.

Substituindo na equação da posição, , vamos achar a posição onde o elétron se encontra quando

O problema pede para dizermos o sentido do movimento de acordo com um gráfico , para isso temos que relacionar a posição com a velocidade, sendo assim vamos olhar a fórmula

Como o tempo é sempre positivo, o sinal da velocidade está diretamente relacionado com o sinal do movimento, nos mostrando assim o sentido da trajetória.

No instante , temos que a velocidade é positiva

Assim,

Por isso podemos afirmar que nesse instante a partícula move-se no sentido positivo do eixo.

Já no ponto temos que a velocidade é negativa (pois o gráfico esta na parte negativa do eixo de velocidade)

Então,

Podemos afirmar assim que a partícula move-se no sentido negativo da trajetória

Como estamos determinando o sentido pelo sinal da velocida se sentido positivo e sentido negativo, temos que no ponto a partícula muda o sentindo do movimento, pois passa de uma velocidade positiva para uma negativa, e no ponto ela passa de uma velocidade negativa para uma positiva.

Para analisarmos a aceleração devemos olhar a tangente de cada ponto, pois aceleração é a derivada da velocidade

Assim o ponto e tem suas retas tangentes horizontais ao eixo , por isso suas acelerações serão zero.

Como estamos analisando os módulos basta ver qual reta está mais inclinada, para obtermos o ponto com maior aceleração, assim vemos que os pontos e tem módulo de aceleração maior que os pontos e

Assim a ordem comenchando do maior das acelerações fica desta forma

Basta lembrar que a função posição é a integral da função velocidade. Portanto:

Preste atenção que esse é uma constante que depende da condição inicial no instante

Pronto! Agora que já temos a função posição, é só calcular a posição em e e achar a distância percorrida.

Lembrando que a aceleração é a variação da velocidade no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Substituindo a aceleração teremos:

Bem, para extrair a equação da velocidade em função do tempo desta equação, vamos ter que usar algo um pouco diferente do que estamos acostumados a fazer. Esta equação é chamada de equação separável e o que nós vamos fazer é justamente separar o termo do termo . Pode parecer meio esquisito, mas o importante é que funciona, basta deixar apenas os termos que tem de um lado e os termos que não tem do outro.

Entretanto, essa equação não faz o mínimo sentido! Mas calma, para consertá-la, basta integrar dos dois lados e tudo fica perfeito =)

Resolvendo as integrais encontramos:

Podemos criar uma nova constante :

Agora vamos utilizar o valor inicial dado no problema. Quanto , , portanto:

Então ficamos com a equação:

Isolando o (basta inverter a equação e multiplicar por ):

A velocidade é a variação da posição no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da posição em relação ao tempo:

Substituindo teremos:

Vejam que acabamos caindo na mesma situação do passo anterior, então essa é a hora de ver se você aprendeu mesmo! Vamos lá, tudo que tem de um lado, e tudo que não tem do outro:

Agora, para que isso faça sentido, precisamos integrar de ambos os lados:

Pra resolver essa integral é só usar substituição simples.

Daí a integral fica com essa cara.

Integrando dos dois lados a gente vai ter:

E agora substituímos novamente hehe:

Criando uma nova constante :

Usando o dado inicial dado no problema de que quando , :

Portanto, substituindo:

Agora a gente vai partir pra encontrar a velocidade em função da posição , e não do tempo.

Para obter em função de , precisamos sumir com o tempo da equação da velocidade. Para isso, vamos isolar o tempo na equação da posição:

Vamos chamar apenas de , não se preocupe, isso não altera em nada, é só estética:

Agora, substituindo o tempo na equação da velocidade, temos:

Enfim temos uma equação compacta para :