Densidade de Carga

É o mesmo esquema de sempre, vamos integrar essa parada:

Precisamos agora de uma expressão para o diferencial de área . Como estamos tratando de coordenadas polares, vamos expressar o com respeito à elas.

Seja a área de um disco arbitrário de raio . Temos então que:

Desse fato segue que:

Portanto podemos substituir:

Fim de papo.

Vamo lá! A gente tem que lembrar antes de tudo que

Então basta substituir os valores dados pelo enunciado e chegaremos no nosso ;D (lembrando de converter o comprimento de centímetros para metros hein)

Podemos calcular a carga total integrando em toda a esfera as cargas pontuais :

O que corresponde à integrar no seguinte domínio (utilizando coordenadas polares):

Podemos trocar o diferencial de carga por um diferencial de espaço utilizando a definição da densidade:

Substituindo:

Plugando a fórmula da densidade que vem do enunciado:

Agora vamos expressar nosso diferencial de volume em função das coordenadas polares que estamos usando. Seja o volume de uma esfera de raio arbitrário. Desse fato segue que:

Portanto podemos substituir na fórmula:

Fim de papo.

A densidade de carga linear não significa que vamos estar sempre integrando em uma barra reta. Linear significa somente que estamos integrando em uma dimensão só.

Bom, o início do esquema é sempre o mesmo:

Agora integramos em todo o anel:

Show. A função nós temos, agora falta identificar esse e o nosso domínio de integração, que ainda está meio misterioso.

Estamos usando um sistema de coordenadas cartesianas, quem deve ser o nosso ? Seria ou ? Ou nenhum dos dois? Só conseguimos responder isso se entendermos o que de fato é o diferencial de comprimento : ele é um pedaço infinitesimal do anel.

Ou seja, não pode ser nem nem . O único jeito de tratar esse comprimento infinitesimal é com coordenadas polares:

Agora sim, podemos então escrever:

E em função de nós sabemos escrever nosso domínio de integração. Portanto:

Logo:

A carga total deu zero, sendo que ela não é nula em todos os pontos. Pode isso, produção? Claro que pode, ora. Basta que a quantidade de cargas positivas seja igual à quantidade de cargas negativas. Que é exatamente o que acontece. Como podemos observar pela característica da função seno:

Podemos perceber que a carga total vai dar zero.

Isso encerra como calcular a carga de barras curvas circulares, é só trocar para coordenadas polares.

Desenhando o que foi descrito temos:

Como queremos a carga total, utilizamos a definição da densidade superficial:

E trocamos o diferencial de área por sua expressão em coordenadas polares. Uma dica para os impacientes (tipo eu): calcule o diferencial com calma. A expressão para a área do círculo você conhece:

Derivando:

E assim evitamos erros crassos, como o que eu acabei de cometer resolvendo essa questão haha.

Integrando em todo o disco:

Segue que:

Puxando o pra fora e arrumando:

Finalmente fazemos a conta da integral:

Arrumando novamente:

Desenhando o primeiro caso chegamos à seguinte figura:

No caso a superfície esférica imaginária está representada somente em corte e com uma linha pontilhada. Não sou sinistro no PowerPoint que nem o Brunão da Física IV.

Do desenho podemos observar que toda a carga que está contida dentro da superfície imaginária é a carga total da esfera, portanto resolvemos o item assim:

Trocando o diferencial de carga utilizando a definição da densidade:

E trocando o diferencial de volume por seu correspondente em coordenadas polares:

Podemos substituir na fórmula e fazer a conta.

Substituindo:

Arrumando:

E finalmente calculamos:

Item respondido!

Agora precisamos desenhar a situação do item :

Perfeito. Podemos ver que a carga encerrada no interior da superfície esférica imaginária não é igual à carga total da esfera, e sim um valor menor em módulo.

Como resolver? Somamos apenas os elementos infinitesimais de carga no interior da superfície imaginária:

Pela mesma lógica de antes, substituímos os dados:

E obtemos o resultado:

E acabou.

Para encontrarmos o valor da carga total , precisamos resolver a seguinte integral:

Como mostramos na Figura acima, o elemento de comprimento é dado por . Se substituímos isso na integral juntamente com , ficamos com

Disso, vamos chegar à seguinte expressão para a carga total

Neste exercício, temos basicamente o que está representado na Figura a) abaixo. O próton, com carga positiva localizado na origem e a carga do elétron distribuída ao longo de uma esfera de raio com uma densidade de cargas com comportamento exponencial.

A carga total da Figura a) é dada por

sendo que é a carga ‘espalhada’ do elétron dentro da esfera de raio , que é negativa. Para obtermos a carga total, primeiro vamos calcular a carga do elétron...

a) Para calcularmos , vamos utilizar a Figura b), que mostra um volume ’. Incluindo esse elemento de volume e a densidade volumétrica dada, temos que a carga total é dada por

Como você faz lá no cálculo frequentemente, poderíamos utilizar a integral por partes duas vezes na integral acima e obter o resultado. Aqui, para a gente avançar mais rápido, vou te mostrar o resultado de integrais desse tipo:

em que é uma constante de integração. Aplicando esse resultado em e substituindo os limites de integração, você vai chegar no seguinte:

Somando esse resultando com a carga do próton, a carga total será

Podemos simplicar um pouco mais para obter que:

b) No limite de , como a função exponencial vai a zero mais rapidamente do que as funções de dentro dos parênteses vão para infinito, então, teremos que:

Esse é um resultado esperado, pois se a gente integra sobre todo o espaço, carga total será

que é exatamente a soma das cargas do próton e do elétron, fazendo com que o átomo de hidrogênio seja neutro.