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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 10.Exercícios e Problemas - Ex. 5

10.5P Uma esfera sólida, uma esfera oca, um cilindro e um anel rolam a partir do topo de uma rampa, saindo do repouso. A) Qual desses objetos chegará primeiro ao fim da rampa? B) Qual deles terá maior percentual de sua energia cinética associado à rotação?

Passo 1

Show de bola pessoal, como queremos saber quem chegou no final da rampa primeiro, podemos pensar que todos os objetos percorrem a mesma distância na rampa, logo quem fizer no menor tempo será o vencedor, só que essa relação de variação da distância pela variação do tempo é uma conhecidíssima nossa, a velocidade:

v = ∆ x ∆ t

Portanto se descobrirmos qual dos objetos chegou com a maior velocidade, vamos estar descobrindo qual deles levou menos tempo, portanto ele será o nosso ganhador. Resumindo, precisamos encontrar qual dos objetos possui maior velocidade final.

Passo 2

E pra isso podemos usar a conservação da energia mecânica, vamos estabelecer um caso geral em que o corpo está a uma altura h , possui massa M , raio R e um momento de inércia I , dessa maneira teremos que:

E i = E f

M g h = 1 2 M v 2 + 1 2 I ω 2

Onde   ω é a velocidade angular, que pode ser relacionada com a velocidade linear através da igualdade v = ω R , tal que:

M g h = 1 2 M v 2 + 1 2 I v 2 R 2

Portanto isolando a velocidade final v , teremos que:

2 g h = v 2 + v 2 I M R 2

2 g h = v 2 1 + I M R 2

v = 2 g h 1 + I M R 2

Irado, então quer dizer que a velocidade final depende, sobretudo, do momento de inércia I do corpo que estaria rolando.

Passo 3

Nesse caso, temos uma esfera sólida, uma esfera oca, um cilindro e um anel, seus momentos de inércia são:

I e s f e r a   s ó l i d a = 2 5 M R 2

I e s f e r a   o c a = 2 3 M R 2

I c i l i n d r o = 1 2 M R 2

I a n e l = M R 2

E o legal aqui é que todos eles são múltiplos de M R 2 , tal que I c = c M R 2 , logo nossa velocidade pode ser reescrita como:

v = 2 g h 1 + c M R 2 M R 2

v = 2 g h 1 + c

Ou seja, o objeto que possuir a menor constante c no seu momento inércia, fará com que a velocidade a maior. Quanto maior o c , menor a velocidade. Dessa maneira, o corpo que atingi o final da rampa mais rápido é aquele que possui o menor c , dentre os nossos objetos temos:

I e s f e r a   s ó l i d a = 2 5 < I c i l i n d r o = 1 2 < I e s f e r a   o c a = 2 3 < I a n e l = 1

Logo, o primeiro a chegar é a esfera sólida que possui o menor c , seguida do cilindro, seguida pela esfera oca, e por último o anel.

Passo 4

Agora na letra (B) queremos descobrir qual desses objetos chega com maior energia cinética de rotação, e pra isso podemos lembrar da nossa conservação da energia, que montamos no Passo 1:

M g h ⏝ U GRAVITACIONAL = 1 2 M v 2 ⏝ K TRANSLAÇÃO   + 1 2 I ω 2 ⏝ K ROTAÇÃO

Logo a energia cinética de rotação de cada corpo será dada por:

K ROTAÇÃO = U GRAVITACIONAL - 1 2 M v 2

Como a energia potencial gravitacional U GRAVITACIONAL é igual para todos os objetos, a única coisa que está variando nessa equação é a velocidade final v de cada corpo. Portanto, quanto maior a velocidade final v   do objeto, menor será o resultado da equação e por consequência, menor será a energia cinética rotação K ROTAÇÃO , dessa forma, o corpo que possui maior energia cinética de rotação é aquele que possui menor velocidade final. E como vimos no item anterior:

I e s f e r a   s ó l i d a = 2 5 < I c i l i n d r o = 1 2 < I e s f e r a   o c a = 2 3 < I a n e l = 1

Portanto o anel é aquele possui menor velocidade final e por consequência, possui maior energia cinética de rotação.

Resposta

  1. Esfera sólida
  2. Anel
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