Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 11
11. Seja a diferença entre as frequências angulares de duas raias espectrais que estão no limite do poder separador de uma rede de difração, e a diferença entre tempos de percurso de dois raios difratados pelas extremidades da rede na direção de observação dessas raias. Demonstre que .
Passo 1
Tudo beleza? Então vem comigo que vamos resolver esse problema.
Para conseguir mostrar o que o enunciado pede teremos que achar uma expressão para e para e multiplicá-los e ver o que encontramos.
Temos que , então , então teremos que encontrar uma expressão para no limite do poder separador quando temos:
Então vamos ter que usar a relação entre comprimento de onda e frequência dada por .
Para encontrar que é a diferença entre os tempos de percurso dos raios difratados vamos usar o fato de que a diferença de percurso entre os raios do topo e de baixo é:
E que a relação de tempo e distância para uma velocidade é:
Vamos em busca do que nos interessa então.
Passo 2
No limite do poder separador, temos:
Onde temos que:
Usando a relação que mostrei no passo para , temos:
Fazendo , temos:
Passo 3
Agora vamos pegar esse e substituir na fórmula do poder separador, temos:
Temos que:
Agora como já comentamos mais acima, temos:
Fazendo essa consideração podemos escrever o seguinte:
Multiplicando os dois lados por , temos:
Considerando muito pequeno, temos:
Assim ficamos com:
Com isso temos que:
Passo 4
Agora vamos em busca do .
Vamos chamar de o percurso do raio de cima e de o percurso do de baixo, assim temos que:
O tempo que leva para char ao ponto é:
O tempo de é:
Da relação mais acima temos que , assim temos:
Passando para o outro lado ficamos com:
Passo 5
Agora vamos realizar a multiplicação de e , temos:
Agora usando o fato de que para franjas de interferência temos:
Logo:
Pronto, chegamos no que o enunciado queria.
Resposta
Demonstrado acima.